Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2179 / 2179
↖ ↑ ↗
← S 11.436955°
E 11.513672°		 ← 9 578.93 m → S 11.436955°
E 11.601562°		 →
↑
9 577.52 m
↓
↑
9 577.52 m
↓
S 11.523088°
E 11.513672°		 ← 9 576.01 m →
91 728 441 m²		 S 11.523088°
E 11.601562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5321044921875 y=0.5321044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5321044921875 × 212)
    floor (0.5321044921875 × 4096)
    floor (2179.5)     		tx = 2179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5321044921875 × 212)
    floor (0.5321044921875 × 4096)
    floor (2179.5)     		ty = 2179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2179 / 2179 ti = "12/2179/2179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2179/2179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2179 ÷ 212
    2179 ÷ 4096     		x = 0.531982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2179 ÷ 212
    2179 ÷ 4096     		y = 0.531982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531982421875 × 2 - 1) × π
    0.06396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.20095148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531982421875 × 2 - 1) × π
    -0.06396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.200951483207275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20095148} λ = 0.20095148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.200951483207275))-π/2
    2×atan(0.817952115004417)-π/2
    2×0.685591900937844-π/2
    1.37118380187569-1.57079632675     		φ = -0.19961252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20095148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.513672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19961252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.436955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2179 KachelY 2179 0.20095148 -0.19961252 11.513672 -11.436955
    Oben rechts KachelX + 1 2180 KachelY 2179 0.20248546 -0.19961252 11.601562 -11.436955
    Unten links KachelX 2179 KachelY + 1 2180 0.20095148 -0.20111582 11.513672 -11.523088
    Unten rechts KachelX + 1 2180 KachelY + 1 2180 0.20248546 -0.20111582 11.601562 -11.523088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19961252--0.20111582) × R
    0.00150330000000001 × 6371000     		dl = 9577.52430000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19961252--0.20111582) × R
    0.00150330000000001 × 6371000     		dr = 9577.52430000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20095148-0.20248546) × cos(-0.19961252) × R
    0.00153398000000002 × 0.980143484657647 × 6371000     		do = 9578.92912203373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20095148-0.20248546) × cos(-0.20111582) × R
    0.00153398000000002 × 0.979844288556578 × 6371000     		du = 9576.00508255319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19961252)-sin(-0.20111582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980143484657647-0.979844288556578)×R²
    abs(0.20248546-0.20095148)×0.000299196101069321×R²
    0.00153398000000002×0.000299196101069321×6371000²
    0.00153398000000002×0.000299196101069321×40589641000000     		ar = 91728441.1795098m²