Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2180 / 2180
↖ ↑ ↗
← S 11.523088°
E 11.601562°		 ← 9 576.01 m → S 11.523088°
E 11.689453°		 →
↑
9 574.53 m
↓
↑
9 574.53 m
↓
S 11.609193°
E 11.601562°		 ← 9 573.06 m →
91 671 667 m²		 S 11.609193°
E 11.689453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5323486328125 y=0.5323486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5323486328125 × 212)
    floor (0.5323486328125 × 4096)
    floor (2180.5)     		tx = 2180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5323486328125 × 212)
    floor (0.5323486328125 × 4096)
    floor (2180.5)     		ty = 2180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2180 / 2180 ti = "12/2180/2180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2180/2180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2180 ÷ 212
    2180 ÷ 4096     		x = 0.5322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2180 ÷ 212
    2180 ÷ 4096     		y = 0.5322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5322265625 × 2 - 1) × π
    0.064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.20248546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5322265625 × 2 - 1) × π
    -0.064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.202485463995117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20248546} λ = 0.20248546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.202485463995117))-π/2
    2×atan(0.816698354043091)-π/2
    2×0.684840254905144-π/2
    1.36968050981029-1.57079632675     		φ = -0.20111582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20248546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.601562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20111582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.523088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2180 KachelY 2180 0.20248546 -0.20111582 11.601562 -11.523088
    Oben rechts KachelX + 1 2181 KachelY 2180 0.20401944 -0.20111582 11.689453 -11.523088
    Unten links KachelX 2180 KachelY + 1 2181 0.20248546 -0.20261865 11.601562 -11.609193
    Unten rechts KachelX + 1 2181 KachelY + 1 2181 0.20401944 -0.20261865 11.689453 -11.609193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20111582--0.20261865) × R
    0.00150283000000001 × 6371000     		dl = 9574.52993000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20111582--0.20261865) × R
    0.00150283000000001 × 6371000     		dr = 9574.52993000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20248546-0.20401944) × cos(-0.20111582) × R
    0.00153397999999999 × 0.979844288556578 × 6371000     		do = 9576.00508255302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20248546-0.20401944) × cos(-0.20261865) × R
    0.00153397999999999 × 0.979542972675751 × 6371000     		du = 9573.06032649337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20111582)-sin(-0.20261865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979844288556578-0.979542972675751)×R²
    abs(0.20401944-0.20248546)×0.000301315880826269×R²
    0.00153397999999999×0.000301315880826269×6371000²
    0.00153397999999999×0.000301315880826269×40589641000000     		ar = 91671667.1985782m²