Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2182 / 2182
↖ ↑ ↗
← S 11.695273°
E 11.777344°		 ← 9 570.09 m → S 11.695273°
E 11.865235°		 →
↑
9 568.60 m
↓
↑
9 568.60 m
↓
S 11.781325°
E 11.777344°		 ← 9 567.11 m →
91 558 187 m²		 S 11.781325°
E 11.865235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5328369140625 y=0.5328369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5328369140625 × 212)
    floor (0.5328369140625 × 4096)
    floor (2182.5)     		tx = 2182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5328369140625 × 212)
    floor (0.5328369140625 × 4096)
    floor (2182.5)     		ty = 2182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2182 / 2182 ti = "12/2182/2182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2182/2182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2182 ÷ 212
    2182 ÷ 4096     		x = 0.53271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2182 ÷ 212
    2182 ÷ 4096     		y = 0.53271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53271484375 × 2 - 1) × π
    0.0654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.20555343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53271484375 × 2 - 1) × π
    -0.0654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.205553425570801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20555343} λ = 0.20555343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.205553425570801))-π/2
    2×atan(0.814196594487351)-π/2
    2×0.683337655345285-π/2
    1.36667531069057-1.57079632675     		φ = -0.20412102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20555343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.777344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20412102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.695273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2182 KachelY 2182 0.20555343 -0.20412102 11.777344 -11.695273
    Oben rechts KachelX + 1 2183 KachelY 2182 0.20708741 -0.20412102 11.865235 -11.695273
    Unten links KachelX 2182 KachelY + 1 2183 0.20555343 -0.20562292 11.777344 -11.781325
    Unten rechts KachelX + 1 2183 KachelY + 1 2183 0.20708741 -0.20562292 11.865235 -11.781325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20412102--0.20562292) × R
    0.0015019 × 6371000     		dl = 9568.6049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20412102--0.20562292) × R
    0.0015019 × 6371000     		dr = 9568.6049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20555343-0.20708741) × cos(-0.20412102) × R
    0.00153397999999999 × 0.979239537744585 × 6371000     		do = 9570.09486098317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20555343-0.20708741) × cos(-0.20562292) × R
    0.00153397999999999 × 0.978933988520277 × 6371000     		du = 9567.10873251448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20412102)-sin(-0.20562292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979239537744585-0.978933988520277)×R²
    abs(0.20708741-0.20555343)×0.0003055492243077×R²
    0.00153397999999999×0.0003055492243077×6371000²
    0.00153397999999999×0.0003055492243077×40589641000000     		ar = 91558187.2491974m²