Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2185 / 2185
↖ ↑ ↗
← S 11.953349°
E 12.041016°		 ← 9 561.07 m → S 11.953349°
E 12.128906°		 →
↑
9 559.56 m
↓
↑
9 559.56 m
↓
S 12.039320°
E 12.041016°		 ← 9 558.03 m →
91 385 097 m²		 S 12.039320°
E 12.128906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5335693359375 y=0.5335693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5335693359375 × 212)
    floor (0.5335693359375 × 4096)
    floor (2185.5)     		tx = 2185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5335693359375 × 212)
    floor (0.5335693359375 × 4096)
    floor (2185.5)     		ty = 2185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2185 / 2185 ti = "12/2185/2185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2185/2185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2185 ÷ 212
    2185 ÷ 4096     		x = 0.533447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2185 ÷ 212
    2185 ÷ 4096     		y = 0.533447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533447265625 × 2 - 1) × π
    0.06689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.21015537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.533447265625 × 2 - 1) × π
    -0.06689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.210155367934326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21015537} λ = 0.21015537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.210155367934326))-π/2
    2×atan(0.810458316953212)-π/2
    2×0.681085511620214-π/2
    1.36217102324043-1.57079632675     		φ = -0.20862530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21015537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.041016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20862530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.953349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2185 KachelY 2185 0.21015537 -0.20862530 12.041016 -11.953349
    Oben rechts KachelX + 1 2186 KachelY 2185 0.21168935 -0.20862530 12.128906 -11.953349
    Unten links KachelX 2185 KachelY + 1 2186 0.21015537 -0.21012578 12.041016 -12.039320
    Unten rechts KachelX + 1 2186 KachelY + 1 2186 0.21168935 -0.21012578 12.128906 -12.039320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20862530--0.21012578) × R
    0.00150048 × 6371000     		dl = 9559.55807999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20862530--0.21012578) × R
    0.00150048 × 6371000     		dr = 9559.55807999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21015537-0.21168935) × cos(-0.20862530) × R
    0.00153397999999999 × 0.978316560316897 × 6371000     		do = 9561.07461496873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21015537-0.21168935) × cos(-0.21012578) × R
    0.00153397999999999 × 0.978004686901493 × 6371000     		du = 9558.02668026533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20862530)-sin(-0.21012578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978316560316897-0.978004686901493)×R²
    abs(0.21168935-0.21015537)×0.000311873415404285×R²
    0.00153397999999999×0.000311873415404285×6371000²
    0.00153397999999999×0.000311873415404285×40589641000000     		ar = 91385096.7802703m²