Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2186 / 2186
↖ ↑ ↗
← S 12.039320°
E 12.128906°		 ← 9 558.03 m → S 12.039320°
E 12.216797°		 →
↑
9 556.50 m
↓
↑
9 556.50 m
↓
S 12.125264°
E 12.128906°		 ← 9 554.96 m →
91 326 637 m²		 S 12.125264°
E 12.216797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5338134765625 y=0.5338134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5338134765625 × 212)
    floor (0.5338134765625 × 4096)
    floor (2186.5)     		tx = 2186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5338134765625 × 212)
    floor (0.5338134765625 × 4096)
    floor (2186.5)     		ty = 2186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2186 / 2186 ti = "12/2186/2186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2186/2186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2186 ÷ 212
    2186 ÷ 4096     		x = 0.53369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2186 ÷ 212
    2186 ÷ 4096     		y = 0.53369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53369140625 × 2 - 1) × π
    0.0673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.21168935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53369140625 × 2 - 1) × π
    -0.0673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.211689348722168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21168935} λ = 0.21168935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.211689348722168))-π/2
    2×atan(0.809216042521814)-π/2
    2×0.680335271684346-π/2
    1.36067054336869-1.57079632675     		φ = -0.21012578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21168935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.128906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21012578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.039320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2186 KachelY 2186 0.21168935 -0.21012578 12.128906 -12.039320
    Oben rechts KachelX + 1 2187 KachelY 2186 0.21322333 -0.21012578 12.216797 -12.039320
    Unten links KachelX 2186 KachelY + 1 2187 0.21168935 -0.21162578 12.128906 -12.125264
    Unten rechts KachelX + 1 2187 KachelY + 1 2187 0.21322333 -0.21162578 12.216797 -12.125264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21012578--0.21162578) × R
    0.0015 × 6371000     		dl = 9556.50000000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21012578--0.21162578) × R
    0.0015 × 6371000     		dr = 9556.50000000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21168935-0.21322333) × cos(-0.21012578) × R
    0.00153397999999999 × 0.978004686901493 × 6371000     		do = 9558.02668026533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21168935-0.21322333) × cos(-0.21162578) × R
    0.00153397999999999 × 0.977690712391366 × 6371000     		du = 9554.9582115914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21012578)-sin(-0.21162578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978004686901493-0.977690712391366)×R²
    abs(0.21322333-0.21168935)×0.000313974510126491×R²
    0.00153397999999999×0.000313974510126491×6371000²
    0.00153397999999999×0.000313974510126491×40589641000000     		ar = 91326637.1832595m²