Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2192 / 2192
↖ ↑ ↗
← S 12.554564°
E 12.656250°		 ← 9 539.31 m → S 12.554564°
E 12.744140°		 →
↑
9 537.71 m
↓
↑
9 537.71 m
↓
S 12.640338°
E 12.656250°		 ← 9 536.12 m →
90 967 921 m²		 S 12.640338°
E 12.744140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5352783203125 y=0.5352783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5352783203125 × 212)
    floor (0.5352783203125 × 4096)
    floor (2192.5)     		tx = 2192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5352783203125 × 212)
    floor (0.5352783203125 × 4096)
    floor (2192.5)     		ty = 2192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2192 / 2192 ti = "12/2192/2192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2192/2192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2192 ÷ 212
    2192 ÷ 4096     		x = 0.53515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2192 ÷ 212
    2192 ÷ 4096     		y = 0.53515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53515625 × 2 - 1) × π
    0.0703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22089323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53515625 × 2 - 1) × π
    -0.0703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.220893233449219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22089323} λ = 0.22089323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.220893233449219))-π/2
    2×atan(0.801802281384439)-π/2
    2×0.675838928538151-π/2
    1.3516778570763-1.57079632675     		φ = -0.21911847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22089323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21911847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.554564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2192 KachelY 2192 0.22089323 -0.21911847 12.656250 -12.554564
    Oben rechts KachelX + 1 2193 KachelY 2192 0.22242721 -0.21911847 12.744140 -12.554564
    Unten links KachelX 2192 KachelY + 1 2193 0.22089323 -0.22061552 12.656250 -12.640338
    Unten rechts KachelX + 1 2193 KachelY + 1 2193 0.22242721 -0.22061552 12.744140 -12.640338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21911847--0.22061552) × R
    0.00149705 × 6371000     		dl = 9537.70555m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21911847--0.22061552) × R
    0.00149705 × 6371000     		dr = 9537.70555m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22089323-0.22242721) × cos(-0.21911847) × R
    0.00153397999999999 × 0.976089446082766 × 6371000     		do = 9539.30905744644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22089323-0.22242721) × cos(-0.22061552) × R
    0.00153397999999999 × 0.975762939774864 × 6371000     		du = 9536.11811568103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21911847)-sin(-0.22061552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976089446082766-0.975762939774864)×R²
    abs(0.22242721-0.22089323)×0.000326506307901764×R²
    0.00153397999999999×0.000326506307901764×6371000²
    0.00153397999999999×0.000326506307901764×40589641000000     		ar = 90967920.7983414m²