Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2194 / 2194
↖ ↑ ↗
← S 12.726084°
E 12.832032°		 ← 9 532.91 m → S 12.726084°
E 12.919922°		 →
↑
9 531.33 m
↓
↑
9 531.33 m
↓
S 12.811802°
E 12.832032°		 ← 9 529.68 m →
90 845 941 m²		 S 12.811802°
E 12.919922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5357666015625 y=0.5357666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5357666015625 × 212)
    floor (0.5357666015625 × 4096)
    floor (2194.5)     		tx = 2194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5357666015625 × 212)
    floor (0.5357666015625 × 4096)
    floor (2194.5)     		ty = 2194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2194 / 2194 ti = "12/2194/2194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2194/2194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2194 ÷ 212
    2194 ÷ 4096     		x = 0.53564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2194 ÷ 212
    2194 ÷ 4096     		y = 0.53564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53564453125 × 2 - 1) × π
    0.0712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22396120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53564453125 × 2 - 1) × π
    -0.0712890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.223961195024902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22396120} λ = 0.22396120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.223961195024902))-π/2
    2×atan(0.799346152375072)-π/2
    2×0.674342127466524-π/2
    1.34868425493305-1.57079632675     		φ = -0.22211207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22396120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.832032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.22211207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.726084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2194 KachelY 2194 0.22396120 -0.22211207 12.832032 -12.726084
    Oben rechts KachelX + 1 2195 KachelY 2194 0.22549518 -0.22211207 12.919922 -12.726084
    Unten links KachelX 2194 KachelY + 1 2195 0.22396120 -0.22360812 12.832032 -12.811802
    Unten rechts KachelX + 1 2195 KachelY + 1 2195 0.22549518 -0.22360812 12.919922 -12.811802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.22211207--0.22360812) × R
    0.00149605 × 6371000     		dl = 9531.33454999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.22211207--0.22360812) × R
    0.00149605 × 6371000     		dr = 9531.33454999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22396120-0.22549518) × cos(-0.22211207) × R
    0.00153397999999999 × 0.975434356773038 × 6371000     		do = 9532.90687841377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22396120-0.22549518) × cos(-0.22360812) × R
    0.00153397999999999 × 0.975103700003249 × 6371000     		du = 9529.67537424004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.22211207)-sin(-0.22360812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975434356773038-0.975103700003249)×R²
    abs(0.22549518-0.22396120)×0.000330656769788829×R²
    0.00153397999999999×0.000330656769788829×6371000²
    0.00153397999999999×0.000330656769788829×40589641000000     		ar = 90845941.3624904m²