Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2208 / 2208
↖ ↑ ↗
← S 13.923404°
E 14.062500°		 ← 9 485.84 m → S 13.923404°
E 14.150391°		 →
↑
9 484.13 m
↓
↑
9 484.13 m
↓
S 14.008697°
E 14.062500°		 ← 9 482.33 m →
89 948 257 m²		 S 14.008697°
E 14.150391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5391845703125 y=0.5391845703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5391845703125 × 212)
    floor (0.5391845703125 × 4096)
    floor (2208.5)     		tx = 2208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5391845703125 × 212)
    floor (0.5391845703125 × 4096)
    floor (2208.5)     		ty = 2208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2208 / 2208 ti = "12/2208/2208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2208/2208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2208 ÷ 212
    2208 ÷ 4096     		x = 0.5390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2208 ÷ 212
    2208 ÷ 4096     		y = 0.5390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5390625 × 2 - 1) × π
    0.078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24543693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5390625 × 2 - 1) × π
    -0.078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.245436926054688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24543693} λ = 0.24543693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.245436926054688))-π/2
    2×atan(0.78236262893597)-π/2
    2×0.663893542850711-π/2
    1.32778708570142-1.57079632675     		φ = -0.24300924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24543693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.24300924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -13.923404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2208 KachelY 2208 0.24543693 -0.24300924 14.062500 -13.923404
    Oben rechts KachelX + 1 2209 KachelY 2208 0.24697091 -0.24300924 14.150391 -13.923404
    Unten links KachelX 2208 KachelY + 1 2209 0.24543693 -0.24449788 14.062500 -14.008697
    Unten rechts KachelX + 1 2209 KachelY + 1 2209 0.24697091 -0.24449788 14.150391 -14.008697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.24300924--0.24449788) × R
    0.00148864000000001 × 6371000     		dl = 9484.12544000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.24300924--0.24449788) × R
    0.00148864000000001 × 6371000     		dr = 9484.12544000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24543693-0.24697091) × cos(-0.24300924) × R
    0.00153397999999999 × 0.970618273695534 × 6371000     		do = 9485.83936312916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24543693-0.24697091) × cos(-0.24449788) × R
    0.00153397999999999 × 0.970258995051632 × 6371000     		du = 9482.32813776382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.24300924)-sin(-0.24449788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970618273695534-0.970258995051632)×R²
    abs(0.24697091-0.24543693)×0.000359278643901839×R²
    0.00153397999999999×0.000359278643901839×6371000²
    0.00153397999999999×0.000359278643901839×40589641000000     		ar = 89948256.5835148m²