Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2209 / 2207
↖ ↑ ↗
← S 13.838080°
E 14.150391°		 ← 9 489.33 m → S 13.838080°
E 14.238281°		 →
↑
9 487.57 m
↓
↑
9 487.57 m
↓
S 13.923404°
E 14.150391°		 ← 9 485.84 m →
90 014 104 m²		 S 13.923404°
E 14.238281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5394287109375 y=0.5389404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5394287109375 × 212)
    floor (0.5394287109375 × 4096)
    floor (2209.5)     		tx = 2209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5389404296875 × 212)
    floor (0.5389404296875 × 4096)
    floor (2207.5)     		ty = 2207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2209 / 2207 ti = "12/2209/2207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2209/2207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2209 ÷ 212
    2209 ÷ 4096     		x = 0.539306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2207 ÷ 212
    2207 ÷ 4096     		y = 0.538818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539306640625 × 2 - 1) × π
    0.07861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24697091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.538818359375 × 2 - 1) × π
    -0.07763671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.243902945266846
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24697091} λ = 0.24697091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.243902945266846))-π/2
    2×atan(0.783563679136333)-π/2
    2×0.664638134878463-π/2
    1.32927626975693-1.57079632675     		φ = -0.24152006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24697091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.150391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.24152006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -13.838080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2209 KachelY 2207 0.24697091 -0.24152006 14.150391 -13.838080
    Oben rechts KachelX + 1 2210 KachelY 2207 0.24850489 -0.24152006 14.238281 -13.838080
    Unten links KachelX 2209 KachelY + 1 2208 0.24697091 -0.24300924 14.150391 -13.923404
    Unten rechts KachelX + 1 2210 KachelY + 1 2208 0.24850489 -0.24300924 14.238281 -13.923404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.24152006--0.24300924) × R
    0.00148917999999998 × 6371000     		dl = 9487.56577999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.24152006--0.24300924) × R
    0.00148917999999998 × 6371000     		dr = 9487.56577999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24697091-0.24850489) × cos(-0.24152006) × R
    0.00153398000000002 × 0.970975530558847 × 6371000     		do = 9489.3308296601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24697091-0.24850489) × cos(-0.24300924) × R
    0.00153398000000002 × 0.970618273695534 × 6371000     		du = 9485.83936312933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.24152006)-sin(-0.24300924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970975530558847-0.970618273695534)×R²
    abs(0.24850489-0.24697091)×0.000357256863313116×R²
    0.00153398000000002×0.000357256863313116×6371000²
    0.00153398000000002×0.000357256863313116×40589641000000     		ar = 90014104.3304262m²