Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2212 / 2212
↖ ↑ ↗
← S 14.264383°
E 14.414063°		 ← 9 471.68 m → S 14.264383°
E 14.501953°		 →
↑
9 469.92 m
↓
↑
9 469.92 m
↓
S 14.349548°
E 14.414063°		 ← 9 468.09 m →
89 679 020 m²		 S 14.349548°
E 14.501953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5401611328125 y=0.5401611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5401611328125 × 212)
    floor (0.5401611328125 × 4096)
    floor (2212.5)     		tx = 2212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5401611328125 × 212)
    floor (0.5401611328125 × 4096)
    floor (2212.5)     		ty = 2212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2212 / 2212 ti = "12/2212/2212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2212/2212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2212 ÷ 212
    2212 ÷ 4096     		x = 0.5400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2212 ÷ 212
    2212 ÷ 4096     		y = 0.5400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5400390625 × 2 - 1) × π
    0.080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.25157285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5400390625 × 2 - 1) × π
    -0.080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.251572849206055
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25157285} λ = 0.25157285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.251572849206055))-π/2
    2×atan(0.777576809693182)-π/2
    2×0.660917938079051-π/2
    1.3218358761581-1.57079632675     		φ = -0.24896045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25157285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.414063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.24896045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -14.264383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2212 KachelY 2212 0.25157285 -0.24896045 14.414063 -14.264383
    Oben rechts KachelX + 1 2213 KachelY 2212 0.25310683 -0.24896045 14.501953 -14.264383
    Unten links KachelX 2212 KachelY + 1 2213 0.25157285 -0.25044686 14.414063 -14.349548
    Unten rechts KachelX + 1 2213 KachelY + 1 2213 0.25310683 -0.25044686 14.501953 -14.349548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.24896045--0.25044686) × R
    0.00148640999999999 × 6371000     		dl = 9469.91810999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.24896045--0.25044686) × R
    0.00148640999999999 × 6371000     		dr = 9469.91810999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25157285-0.25310683) × cos(-0.24896045) × R
    0.00153397999999999 × 0.969169086915728 × 6371000     		do = 9471.6764801782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25157285-0.25310683) × cos(-0.25044686) × R
    0.00153397999999999 × 0.968801770043007 × 6371000     		du = 9468.0866973105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.24896045)-sin(-0.25044686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.969169086915728-0.968801770043007)×R²
    abs(0.25310683-0.25157285)×0.000367316872720513×R²
    0.00153397999999999×0.000367316872720513×6371000²
    0.00153397999999999×0.000367316872720513×40589641000000     		ar = 89679019.6683189m²