Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2224 / 2224
↖ ↑ ↗
← S 15.284185°
E 15.468750°		 ← 9 427.32 m → S 15.284185°
E 15.556641°		 →
↑
9 425.45 m
↓
↑
9 425.45 m
↓
S 15.368950°
E 15.468750°		 ← 9 423.50 m →
88 838 708 m²		 S 15.368950°
E 15.556641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5430908203125 y=0.5430908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5430908203125 × 212)
    floor (0.5430908203125 × 4096)
    floor (2224.5)     		tx = 2224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5430908203125 × 212)
    floor (0.5430908203125 × 4096)
    floor (2224.5)     		ty = 2224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2224 / 2224 ti = "12/2224/2224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2224/2224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2224 ÷ 212
    2224 ÷ 4096     		x = 0.54296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2224 ÷ 212
    2224 ÷ 4096     		y = 0.54296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54296875 × 2 - 1) × π
    0.0859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26998062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.54296875 × 2 - 1) × π
    -0.0859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.269980618660156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26998062} λ = 0.26998062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.269980618660156))-π/2
    2×atan(0.76339428979764)-π/2
    2×0.652018486538701-π/2
    1.3040369730774-1.57079632675     		φ = -0.26675935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26998062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.26675935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -15.284185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2224 KachelY 2224 0.26998062 -0.26675935 15.468750 -15.284185
    Oben rechts KachelX + 1 2225 KachelY 2224 0.27151460 -0.26675935 15.556641 -15.284185
    Unten links KachelX 2224 KachelY + 1 2225 0.26998062 -0.26823878 15.468750 -15.368950
    Unten rechts KachelX + 1 2225 KachelY + 1 2225 0.27151460 -0.26823878 15.556641 -15.368950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.26675935--0.26823878) × R
    0.00147943 × 6371000     		dl = 9425.44853000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.26675935--0.26823878) × R
    0.00147943 × 6371000     		dr = 9425.44853000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26998062-0.27151460) × cos(-0.26675935) × R
    0.00153397999999999 × 0.964630217417108 × 6371000     		do = 9427.31816947982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26998062-0.27151460) × cos(-0.26823878) × R
    0.00153397999999999 × 0.964239174105847 × 6371000     		du = 9423.49650844667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.26675935)-sin(-0.26823878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964630217417108-0.964239174105847)×R²
    abs(0.27151460-0.26998062)×0.00039104331126083×R²
    0.00153397999999999×0.00039104331126083×6371000²
    0.00153397999999999×0.00039104331126083×40589641000000     		ar = 88838707.9512215m²