Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2240 / 1984
↖ ↑ ↗
← N  5.615986°
E 16.875000°		 ← 9 726.08 m → N  5.615986°
E 16.962891°		 →
↑
9 726.80 m
↓
↑
9 726.80 m
↓
N  5.528510°
E 16.875000°		 ← 9 727.53 m →
94 610 645 m²		 N  5.528510°
E 16.962891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5469970703125 y=0.4844970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5469970703125 × 212)
    floor (0.5469970703125 × 4096)
    floor (2240.5)     		tx = 2240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4844970703125 × 212)
    floor (0.4844970703125 × 4096)
    floor (1984.5)     		ty = 1984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2240 / 1984 ti = "12/2240/1984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2240/1984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2240 ÷ 212
    2240 ÷ 4096     		x = 0.546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1984 ÷ 212
    1984 ÷ 4096     		y = 0.484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546875 × 2 - 1) × π
    0.09375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29452431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.484375 × 2 - 1) × π
    0.03125 × 3.1415926535     		Φ = 0.098174770421875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29452431} λ = 0.29452431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.098174770421875))-π/2
    2×atan(1.10315556722559)-π/2
    2×0.834406885040838-π/2
    1.66881377008168-1.57079632675     		φ = 0.09801744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29452431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09801744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.615986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2240 KachelY 1984 0.29452431 0.09801744 16.875000 5.615986
    Oben rechts KachelX + 1 2241 KachelY 1984 0.29605829 0.09801744 16.962891 5.615986
    Unten links KachelX 2240 KachelY + 1 1985 0.29452431 0.09649071 16.875000 5.528510
    Unten rechts KachelX + 1 2241 KachelY + 1 1985 0.29605829 0.09649071 16.962891 5.528510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09801744-0.09649071) × R
    0.00152673 × 6371000     		dl = 9726.79683000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09801744-0.09649071) × R
    0.00152673 × 6371000     		dr = 9726.79683000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29452431-0.29605829) × cos(0.09801744) × R
    0.00153397999999999 × 0.995200135433612 × 6371000     		do = 9726.07756800681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29452431-0.29605829) × cos(0.09649071) × R
    0.00153397999999999 × 0.99534838217992 × 6371000     		du = 9727.52638146901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09801744)-sin(0.09649071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995200135433612-0.99534838217992)×R²
    abs(0.29605829-0.29452431)×0.000148246746308534×R²
    0.00153397999999999×0.000148246746308534×6371000²
    0.00153397999999999×0.000148246746308534×40589641000000     		ar = 94610644.9912844m²