Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2272 / 2400
↖ ↑ ↗
← S 29.535229°
E 19.687500°		 ← 8 503.01 m → S 29.535229°
E 19.775391°		 →
↑
8 499.81 m
↓
↑
8 499.81 m
↓
S 29.611670°
E 19.687500°		 ← 8 496.58 m →
72 246 631 m²		 S 29.611670°
E 19.775391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5548095703125 y=0.5860595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5548095703125 × 212)
    floor (0.5548095703125 × 4096)
    floor (2272.5)     		tx = 2272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5860595703125 × 212)
    floor (0.5860595703125 × 4096)
    floor (2400.5)     		ty = 2400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2272 / 2400 ti = "12/2272/2400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2272/2400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2272 ÷ 212
    2272 ÷ 4096     		x = 0.5546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2400 ÷ 212
    2400 ÷ 4096     		y = 0.5859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5546875 × 2 - 1) × π
    0.109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.34361170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5859375 × 2 - 1) × π
    -0.171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.539961237320313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34361170} λ = 0.34361170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.539961237320313))-π/2
    2×atan(0.582770841695643)-π/2
    2×0.527654662801254-π/2
    1.05530932560251-1.57079632675     		φ = -0.51548700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34361170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51548700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.535229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2272 KachelY 2400 0.34361170 -0.51548700 19.687500 -29.535229
    Oben rechts KachelX + 1 2273 KachelY 2400 0.34514568 -0.51548700 19.775391 -29.535229
    Unten links KachelX 2272 KachelY + 1 2401 0.34361170 -0.51682114 19.687500 -29.611670
    Unten rechts KachelX + 1 2273 KachelY + 1 2401 0.34514568 -0.51682114 19.775391 -29.611670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51548700--0.51682114) × R
    0.00133413999999998 × 6371000     		dl = 8499.8059399999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51548700--0.51682114) × R
    0.00133413999999998 × 6371000     		dr = 8499.8059399999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34361170-0.34514568) × cos(-0.51548700) × R
    0.00153397999999999 × 0.870052754632841 × 6371000     		do = 8503.01389491873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34361170-0.34514568) × cos(-0.51682114) × R
    0.00153397999999999 × 0.869394304694246 × 6371000     		du = 8496.57887250524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51548700)-sin(-0.51682114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870052754632841-0.869394304694246)×R²
    abs(0.34514568-0.34361170)×0.000658449938595318×R²
    0.00153397999999999×0.000658449938595318×6371000²
    0.00153397999999999×0.000658449938595318×40589641000000     		ar = 72246630.5072265m²