Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2324 / 2324
↖ ↑ ↗
← S 23.563987°
E 24.257813°		 ← 8 958.06 m → S 23.563987°
E 24.345703°		 →
↑
8 955.33 m
↓
↑
8 955.33 m
↓
S 23.644524°
E 24.257813°		 ← 8 952.56 m →
80 197 772 m²		 S 23.644524°
E 24.345703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5675048828125 y=0.5675048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5675048828125 × 212)
    floor (0.5675048828125 × 4096)
    floor (2324.5)     		tx = 2324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5675048828125 × 212)
    floor (0.5675048828125 × 4096)
    floor (2324.5)     		ty = 2324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2324 / 2324 ti = "12/2324/2324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2324/2324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2324 ÷ 212
    2324 ÷ 4096     		x = 0.5673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2324 ÷ 212
    2324 ÷ 4096     		y = 0.5673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5673828125 × 2 - 1) × π
    0.134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42337870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5673828125 × 2 - 1) × π
    -0.134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.423378697444336
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42337870} λ = 0.42337870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.423378697444336))-π/2
    2×atan(0.654830603474667)-π/2
    2×0.579763583258475-π/2
    1.15952716651695-1.57079632675     		φ = -0.41126916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42337870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.257813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41126916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.563987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2324 KachelY 2324 0.42337870 -0.41126916 24.257813 -23.563987
    Oben rechts KachelX + 1 2325 KachelY 2324 0.42491268 -0.41126916 24.345703 -23.563987
    Unten links KachelX 2324 KachelY + 1 2325 0.42337870 -0.41267480 24.257813 -23.644524
    Unten rechts KachelX + 1 2325 KachelY + 1 2325 0.42491268 -0.41267480 24.345703 -23.644524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41126916--0.41267480) × R
    0.00140563999999999 × 6371000     		dl = 8955.33243999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41126916--0.41267480) × R
    0.00140563999999999 × 6371000     		dr = 8955.33243999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42337870-0.42491268) × cos(-0.41126916) × R
    0.00153397999999999 × 0.916614185303787 × 6371000     		do = 8958.05813201149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42337870-0.42491268) × cos(-0.41267480) × R
    0.00153397999999999 × 0.91605134306373 × 6371000     		du = 8952.55748235275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41126916)-sin(-0.41267480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916614185303787-0.91605134306373)×R²
    abs(0.42491268-0.42337870)×0.000562842240057093×R²
    0.00153397999999999×0.000562842240057093×6371000²
    0.00153397999999999×0.000562842240057093×40589641000000     		ar = 80197771.7205653m²