Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2328 / 2328
↖ ↑ ↗
← S 23.885838°
E 24.609375°		 ← 8 935.97 m → S 23.885838°
E 24.697266°		 →
↑
8 933.23 m
↓
↑
8 933.23 m
↓
S 23.966176°
E 24.609375°		 ← 8 930.41 m →
79 802 222 m²		 S 23.966176°
E 24.697266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5684814453125 y=0.5684814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5684814453125 × 212)
    floor (0.5684814453125 × 4096)
    floor (2328.5)     		tx = 2328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5684814453125 × 212)
    floor (0.5684814453125 × 4096)
    floor (2328.5)     		ty = 2328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2328 / 2328 ti = "12/2328/2328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2328/2328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2328 ÷ 212
    2328 ÷ 4096     		x = 0.568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2328 ÷ 212
    2328 ÷ 4096     		y = 0.568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568359375 × 2 - 1) × π
    0.13671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42951462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.568359375 × 2 - 1) × π
    -0.13671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.429514620595703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42951462} λ = 0.42951462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.429514620595703))-π/2
    2×atan(0.650824915080351)-π/2
    2×0.57695490717327-π/2
    1.15390981434654-1.57079632675     		φ = -0.41688651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42951462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41688651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.885838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2328 KachelY 2328 0.42951462 -0.41688651 24.609375 -23.885838
    Oben rechts KachelX + 1 2329 KachelY 2328 0.43104860 -0.41688651 24.697266 -23.885838
    Unten links KachelX 2328 KachelY + 1 2329 0.42951462 -0.41828868 24.609375 -23.966176
    Unten rechts KachelX + 1 2329 KachelY + 1 2329 0.43104860 -0.41828868 24.697266 -23.966176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41688651--0.41828868) × R
    0.00140217000000004 × 6371000     		dl = 8933.22507000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41688651--0.41828868) × R
    0.00140217000000004 × 6371000     		dr = 8933.22507000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42951462-0.43104860) × cos(-0.41688651) × R
    0.00153397999999999 × 0.91435407069783 × 6371000     		do = 8935.9700622982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42951462-0.43104860) × cos(-0.41828868) × R
    0.00153397999999999 × 0.913785411547057 × 6371000     		du = 8930.41256404911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41688651)-sin(-0.41828868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91435407069783-0.913785411547057)×R²
    abs(0.43104860-0.42951462)×0.00056865915077231×R²
    0.00153397999999999×0.00056865915077231×6371000²
    0.00153397999999999×0.00056865915077231×40589641000000     		ar = 79802221.6687521m²