Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2338 / 2338
↖ ↑ ↗
← S 24.686952°
E 25.488281°		 ← 8 879.77 m → S 24.686952°
E 25.576172°		 →
↑
8 876.91 m
↓
↑
8 876.91 m
↓
S 24.766784°
E 25.488281°		 ← 8 874.07 m →
78 799 592 m²		 S 24.766784°
E 25.576172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5709228515625 y=0.5709228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5709228515625 × 212)
    floor (0.5709228515625 × 4096)
    floor (2338.5)     		tx = 2338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5709228515625 × 212)
    floor (0.5709228515625 × 4096)
    floor (2338.5)     		ty = 2338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2338 / 2338 ti = "12/2338/2338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2338/2338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2338 ÷ 212
    2338 ÷ 4096     		x = 0.57080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2338 ÷ 212
    2338 ÷ 4096     		y = 0.57080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57080078125 × 2 - 1) × π
    0.1416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44485443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57080078125 × 2 - 1) × π
    -0.1416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.444854428474121
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44485443} λ = 0.44485443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.444854428474121))-π/2
    2×atan(0.640917568590206)-π/2
    2×0.569963862466954-π/2
    1.13992772493391-1.57079632675     		φ = -0.43086860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44485443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.488281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43086860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.686952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2338 KachelY 2338 0.44485443 -0.43086860 25.488281 -24.686952
    Oben rechts KachelX + 1 2339 KachelY 2338 0.44638841 -0.43086860 25.576172 -24.686952
    Unten links KachelX 2338 KachelY + 1 2339 0.44485443 -0.43226193 25.488281 -24.766784
    Unten rechts KachelX + 1 2339 KachelY + 1 2339 0.44638841 -0.43226193 25.576172 -24.766784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43086860--0.43226193) × R
    0.00139333000000003 × 6371000     		dl = 8876.90543000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43086860--0.43226193) × R
    0.00139333000000003 × 6371000     		dr = 8876.90543000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44485443-0.44638841) × cos(-0.43086860) × R
    0.00153397999999999 × 0.90860331284959 × 6371000     		do = 8879.76798302252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44485443-0.44638841) × cos(-0.43226193) × R
    0.00153397999999999 × 0.908020492622645 × 6371000     		du = 8874.07208876604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43086860)-sin(-0.43226193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90860331284959-0.908020492622645)×R²
    abs(0.44638841-0.44485443)×0.000582820226944558×R²
    0.00153397999999999×0.000582820226944558×6371000²
    0.00153397999999999×0.000582820226944558×40589641000000     		ar = 78799592.4165623m²