Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2369 / 2367
↖ ↑ ↗
← S 26.980828°
E 28.212890°		 ← 8 709.28 m → S 26.980828°
E 28.300781°		 →
↑
8 706.29 m
↓
↑
8 706.29 m
↓
S 27.059126°
E 28.212890°		 ← 8 703.21 m →
75 799 108 m²		 S 27.059126°
E 28.300781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5784912109375 y=0.5780029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5784912109375 × 212)
    floor (0.5784912109375 × 4096)
    floor (2369.5)     		tx = 2369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5780029296875 × 212)
    floor (0.5780029296875 × 4096)
    floor (2367.5)     		ty = 2367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2369 / 2367 ti = "12/2369/2367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2369/2367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2369 ÷ 212
    2369 ÷ 4096     		x = 0.578369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2367 ÷ 212
    2367 ÷ 4096     		y = 0.577880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578369140625 × 2 - 1) × π
    0.15673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.49240783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.577880859375 × 2 - 1) × π
    -0.15576171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.489339871321533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49240783} λ = 0.49240783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.489339871321533))-π/2
    2×atan(0.613030939947842)-π/2
    2×0.549946016493701-π/2
    1.0998920329874-1.57079632675     		φ = -0.47090429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49240783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.212890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47090429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.980828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2369 KachelY 2367 0.49240783 -0.47090429 28.212890 -26.980828
    Oben rechts KachelX + 1 2370 KachelY 2367 0.49394181 -0.47090429 28.300781 -26.980828
    Unten links KachelX 2369 KachelY + 1 2368 0.49240783 -0.47227084 28.212890 -27.059126
    Unten rechts KachelX + 1 2370 KachelY + 1 2368 0.49394181 -0.47227084 28.300781 -27.059126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47090429--0.47227084) × R
    0.00136655000000002 × 6371000     		dl = 8706.29005000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47090429--0.47227084) × R
    0.00136655000000002 × 6371000     		dr = 8706.29005000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49240783-0.49394181) × cos(-0.47090429) × R
    0.00153397999999999 × 0.891158383176458 × 6371000     		do = 8709.27891943797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49240783-0.49394181) × cos(-0.47227084) × R
    0.00153397999999999 × 0.890537558006442 × 6371000     		du = 8703.21160338287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47090429)-sin(-0.47227084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891158383176458-0.890537558006442)×R²
    abs(0.49394181-0.49240783)×0.000620825170016603×R²
    0.00153397999999999×0.000620825170016603×6371000²
    0.00153397999999999×0.000620825170016603×40589641000000     		ar = 75799108.2882533m²