Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2370 / 2370
↖ ↑ ↗
← S 27.215556°
E 28.300781°		 ← 8 691.04 m → S 27.215556°
E 28.388672°		 →
↑
8 688.01 m
↓
↑
8 688.01 m
↓
S 27.293689°
E 28.300781°		 ← 8 684.94 m →
75 481 311 m²		 S 27.293689°
E 28.388672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5787353515625 y=0.5787353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5787353515625 × 212)
    floor (0.5787353515625 × 4096)
    floor (2370.5)     		tx = 2370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5787353515625 × 212)
    floor (0.5787353515625 × 4096)
    floor (2370.5)     		ty = 2370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2370 / 2370 ti = "12/2370/2370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2370/2370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2370 ÷ 212
    2370 ÷ 4096     		x = 0.57861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2370 ÷ 212
    2370 ÷ 4096     		y = 0.57861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57861328125 × 2 - 1) × π
    0.1572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49394181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57861328125 × 2 - 1) × π
    -0.1572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.493941813685059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49394181} λ = 0.49394181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.493941813685059))-π/2
    2×atan(0.610216288294844)-π/2
    2×0.547897631599149-π/2
    1.0957952631983-1.57079632675     		φ = -0.47500106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49394181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.300781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47500106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.215556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2370 KachelY 2370 0.49394181 -0.47500106 28.300781 -27.215556
    Oben rechts KachelX + 1 2371 KachelY 2370 0.49547579 -0.47500106 28.388672 -27.215556
    Unten links KachelX 2370 KachelY + 1 2371 0.49394181 -0.47636474 28.300781 -27.293689
    Unten rechts KachelX + 1 2371 KachelY + 1 2371 0.49547579 -0.47636474 28.388672 -27.293689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47500106--0.47636474) × R
    0.00136368000000003 × 6371000     		dl = 8688.00528000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47500106--0.47636474) × R
    0.00136368000000003 × 6371000     		dr = 8688.00528000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49394181-0.49547579) × cos(-0.47500106) × R
    0.00153398000000005 × 0.889292236843915 × 6371000     		do = 8691.04109637402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49394181-0.49547579) × cos(-0.47636474) × R
    0.00153398000000005 × 0.888667745584006 × 6371000     		du = 8684.9379516716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47500106)-sin(-0.47636474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889292236843915-0.888667745584006)×R²
    abs(0.49547579-0.49394181)×0.000624491259908933×R²
    0.00153398000000005×0.000624491259908933×6371000²
    0.00153398000000005×0.000624491259908933×40589641000000     		ar = 75481310.5545305m²