Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 240 / 240
↖ ↑ ↗
← N 11.178402°
W 11.250000°		 ← 76.701 km → N 11.178402°
W 10.546875°		 →
↑
76.790 km
↓
↑
76.790 km
↓
N 10.487812°
W 11.250000°		 ← 76.878 km →
5 896.72 km²		 N 10.487812°
W 10.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4697265625 y=0.4697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4697265625 × 29)
    floor (0.4697265625 × 512)
    floor (240.5)     		tx = 240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4697265625 × 29)
    floor (0.4697265625 × 512)
    floor (240.5)     		ty = 240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 240 / 240 ti = "9/240/240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/240/240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 240 ÷ 29
    240 ÷ 512     		x = 0.46875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 240 ÷ 29
    240 ÷ 512     		y = 0.46875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46875 × 2 - 1) × π
    -0.0625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46875 × 2 - 1) × π
    0.0625 × 3.1415926535     		Φ = 0.19634954084375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19634954} λ = -0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.19634954084375))-π/2
    2×atan(1.21695220550081)-π/2
    2×0.882948122298382-π/2
    1.76589624459676-1.57079632675     		φ = 0.19509992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19509992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.178402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 240 KachelY 240 -0.19634954 0.19509992 -11.250000 11.178402
    Oben rechts KachelX + 1 241 KachelY 240 -0.18407769 0.19509992 -10.546875 11.178402
    Unten links KachelX 240 KachelY + 1 241 -0.19634954 0.18304685 -11.250000 10.487812
    Unten rechts KachelX + 1 241 KachelY + 1 241 -0.18407769 0.18304685 -10.546875 10.487812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19509992-0.18304685) × R
    0.01205307 × 6371000     		dl = 76790.10897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19509992-0.18304685) × R
    0.01205307 × 6371000     		dr = 76790.10897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19634954--0.18407769) × cos(0.19509992) × R
    0.01227185 × 0.981028303500043 × 6371000     		do = 76700.6740589619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19634954--0.18407769) × cos(0.18304685) × R
    0.01227185 × 0.983293650724252 × 6371000     		du = 76877.7878674571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19509992)-sin(0.18304685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981028303500043-0.983293650724252)×R²
    abs(-0.18407769--0.19634954)×0.00226534722420901×R²
    0.01227185×0.00226534722420901×6371000²
    0.01227185×0.00226534722420901×40589641000000     		ar = 5896724801.52017m²