Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2432 / 1920
↖ ↑ ↗
← N 11.178402°
E 33.750000°		 ← 9 587.58 m → N 11.178402°
E 33.837890°		 →
↑
9 588.99 m
↓
↑
9 588.99 m
↓
N 11.092166°
E 33.750000°		 ← 9 590.42 m →
91 948 832 m²		 N 11.092166°
E 33.837890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5938720703125 y=0.4688720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5938720703125 × 212)
    floor (0.5938720703125 × 4096)
    floor (2432.5)     		tx = 2432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4688720703125 × 212)
    floor (0.4688720703125 × 4096)
    floor (1920.5)     		ty = 1920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2432 / 1920 ti = "12/2432/1920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2432/1920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2432 ÷ 212
    2432 ÷ 4096     		x = 0.59375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1920 ÷ 212
    1920 ÷ 4096     		y = 0.46875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59375 × 2 - 1) × π
    0.1875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46875 × 2 - 1) × π
    0.0625 × 3.1415926535     		Φ = 0.19634954084375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58904862} λ = 0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.19634954084375))-π/2
    2×atan(1.21695220550081)-π/2
    2×0.882948122298382-π/2
    1.76589624459676-1.57079632675     		φ = 0.19509992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19509992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.178402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2432 KachelY 1920 0.58904862 0.19509992 33.750000 11.178402
    Oben rechts KachelX + 1 2433 KachelY 1920 0.59058260 0.19509992 33.837890 11.178402
    Unten links KachelX 2432 KachelY + 1 1921 0.58904862 0.19359482 33.750000 11.092166
    Unten rechts KachelX + 1 2433 KachelY + 1 1921 0.59058260 0.19359482 33.837890 11.092166
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19509992-0.19359482) × R
    0.00150510000000001 × 6371000     		dl = 9588.99210000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19509992-0.19359482) × R
    0.00150510000000001 × 6371000     		dr = 9588.99210000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58904862-0.59058260) × cos(0.19509992) × R
    0.00153397999999993 × 0.981028303500043 × 6371000     		do = 9587.57644470568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58904862-0.59058260) × cos(0.19359482) × R
    0.00153397999999993 × 0.981318977765296 × 6371000     		du = 9590.41720039915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19509992)-sin(0.19359482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981028303500043-0.981318977765296)×R²
    abs(0.59058260-0.58904862)×0.00029067426525331×R²
    0.00153397999999993×0.00029067426525331×6371000²
    0.00153397999999993×0.00029067426525331×40589641000000     		ar = 91948832.136221m²