Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24320 / 25344
↖ ↑ ↗
← S 69.657086°
E 87.187500°		 ← 424.69 m → S 69.657086°
E 87.198486°		 →
↑
424.69 m
↓
↑
424.69 m
↓
S 69.660905°
E 87.187500°		 ← 424.61 m →
180 345 m²		 S 69.660905°
E 87.198486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742202758789062 y=0.773452758789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742202758789062 × 215)
    floor (0.742202758789062 × 32768)
    floor (24320.5)     		tx = 24320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773452758789062 × 215)
    floor (0.773452758789062 × 32768)
    floor (25344.5)     		ty = 25344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24320 / 25344 ti = "15/24320/25344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24320/25344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24320 ÷ 215
    24320 ÷ 32768     		x = 0.7421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25344 ÷ 215
    25344 ÷ 32768     		y = 0.7734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7421875 × 2 - 1) × π
    0.484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.52170894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7734375 × 2 - 1) × π
    -0.546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71805848238281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52170894} λ = 1.52170894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71805848238281))-π/2
    2×atan(0.179414145704914)-π/2
    2×0.177525412001084-π/2
    0.355050824002167-1.57079632675     		φ = -1.21574550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52170894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21574550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.657086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24320 KachelY 25344 1.52170894 -1.21574550 87.187500 -69.657086
    Oben rechts KachelX + 1 24321 KachelY 25344 1.52190069 -1.21574550 87.198486 -69.657086
    Unten links KachelX 24320 KachelY + 1 25345 1.52170894 -1.21581216 87.187500 -69.660905
    Unten rechts KachelX + 1 24321 KachelY + 1 25345 1.52190069 -1.21581216 87.198486 -69.660905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21574550--1.21581216) × R
    6.66600000001072e-05 × 6371000     		dl = 424.690860000683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21574550--1.21581216) × R
    6.66600000001072e-05 × 6371000     		dr = 424.690860000683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52170894-1.52190069) × cos(-1.21574550) × R
    0.000191750000000157 × 0.347638022352561 × 6371000     		do = 424.688252898613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52170894-1.52190069) × cos(-1.21581216) × R
    0.000191750000000157 × 0.347575519243044 × 6371000     		du = 424.611896646781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21574550)-sin(-1.21581216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347638022352561-0.347575519243044)×R²
    abs(1.52190069-1.52170894)×6.25031095163875e-05×R²
    0.000191750000000157×6.25031095163875e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.25031095163875e-05×40589641000000     		ar = 180345.005521208m²