Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2434 / 1922
↖ ↑ ↗
← N 11.005904°
E 33.925781°		 ← 9 593.24 m → N 11.005904°
E 34.013672°		 →
↑
9 594.66 m
↓
↑
9 594.66 m
↓
N 10.919618°
E 33.925781°		 ← 9 596.04 m →
92 057 315 m²		 N 10.919618°
E 34.013672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5943603515625 y=0.4693603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5943603515625 × 212)
    floor (0.5943603515625 × 4096)
    floor (2434.5)     		tx = 2434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4693603515625 × 212)
    floor (0.4693603515625 × 4096)
    floor (1922.5)     		ty = 1922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2434 / 1922 ti = "12/2434/1922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2434/1922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2434 ÷ 212
    2434 ÷ 4096     		x = 0.59423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1922 ÷ 212
    1922 ÷ 4096     		y = 0.46923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59423828125 × 2 - 1) × π
    0.1884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59211658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46923828125 × 2 - 1) × π
    0.0615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.193281579268066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59211658} λ = 0.59211658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.193281579268066))-π/2
    2×atan(1.21322436425573)-π/2
    2×0.881442798385229-π/2
    1.76288559677046-1.57079632675     		φ = 0.19208927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59211658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.925781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19208927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.005904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2434 KachelY 1922 0.59211658 0.19208927 33.925781 11.005904
    Oben rechts KachelX + 1 2435 KachelY 1922 0.59365056 0.19208927 34.013672 11.005904
    Unten links KachelX 2434 KachelY + 1 1923 0.59211658 0.19058328 33.925781 10.919618
    Unten rechts KachelX + 1 2435 KachelY + 1 1923 0.59365056 0.19058328 34.013672 10.919618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19208927-0.19058328) × R
    0.00150599000000001 × 6371000     		dl = 9594.66229000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19208927-0.19058328) × R
    0.00150599000000001 × 6371000     		dr = 9594.66229000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59211658-0.59365056) × cos(0.19208927) × R
    0.00153398000000005 × 0.981607514933233 × 6371000     		do = 9593.23707026992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59211658-0.59365056) × cos(0.19058328) × R
    0.00153398000000005 × 0.9818939104607 × 6371000     		du = 9596.03600991643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19208927)-sin(0.19058328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981607514933233-0.9818939104607)×R²
    abs(0.59365056-0.59211658)×0.000286395527466787×R²
    0.00153398000000005×0.000286395527466787×6371000²
    0.00153398000000005×0.000286395527466787×40589641000000     		ar = 92057314.796368m²