Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2448 / 1936
↖ ↑ ↗
← N  9.795678°
E 35.156250°		 ← 9 630.50 m → N  9.795678°
E 35.244141°		 →
↑
9 631.81 m
↓
↑
9 631.81 m
↓
N  9.709057°
E 35.156250°		 ← 9 633.01 m →
92 771 206 m²		 N  9.709057°
E 35.244141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5977783203125 y=0.4727783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5977783203125 × 212)
    floor (0.5977783203125 × 4096)
    floor (2448.5)     		tx = 2448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4727783203125 × 212)
    floor (0.4727783203125 × 4096)
    floor (1936.5)     		ty = 1936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2448 / 1936 ti = "12/2448/1936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2448/1936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2448 ÷ 212
    2448 ÷ 4096     		x = 0.59765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1936 ÷ 212
    1936 ÷ 4096     		y = 0.47265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59765625 × 2 - 1) × π
    0.1953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.61359232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47265625 × 2 - 1) × π
    0.0546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.171805848238281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61359232} λ = 0.61359232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.171805848238281))-π/2
    2×atan(1.18744726585349)-π/2
    2×0.870881576537118-π/2
    1.74176315307424-1.57079632675     		φ = 0.17096683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61359232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17096683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 9.795678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2448 KachelY 1936 0.61359232 0.17096683 35.156250 9.795678
    Oben rechts KachelX + 1 2449 KachelY 1936 0.61512630 0.17096683 35.244141 9.795678
    Unten links KachelX 2448 KachelY + 1 1937 0.61359232 0.16945501 35.156250 9.709057
    Unten rechts KachelX + 1 2449 KachelY + 1 1937 0.61512630 0.16945501 35.244141 9.709057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17096683-0.16945501) × R
    0.00151182 × 6371000     		dl = 9631.80521999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17096683-0.16945501) × R
    0.00151182 × 6371000     		dr = 9631.80521999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61359232-0.61512630) × cos(0.17096683) × R
    0.00153398000000005 × 0.9854207357218 × 6371000     		do = 9630.50362586317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61359232-0.61512630) × cos(0.16945501) × R
    0.00153398000000005 × 0.985676823227132 × 6371000     		du = 9633.00636561608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17096683)-sin(0.16945501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9854207357218-0.985676823227132)×R²
    abs(0.61512630-0.61359232)×0.000256087505331459×R²
    0.00153398000000005×0.000256087505331459×6371000²
    0.00153398000000005×0.000256087505331459×40589641000000     		ar = 92771205.715548m²