Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24512 / 24768
↖ ↑ ↗
← S 67.339861°
E 89.296875°		 ← 470.65 m → S 67.339861°
E 89.307861°		 →
↑
470.63 m
↓
↑
470.63 m
↓
S 67.344093°
E 89.296875°		 ← 470.57 m →
221 482 m²		 S 67.344093°
E 89.307861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.748062133789062 y=0.755874633789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.748062133789062 × 215)
    floor (0.748062133789062 × 32768)
    floor (24512.5)     		tx = 24512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755874633789062 × 215)
    floor (0.755874633789062 × 32768)
    floor (24768.5)     		ty = 24768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24512 / 24768 ti = "15/24512/24768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24512/24768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24512 ÷ 215
    24512 ÷ 32768     		x = 0.748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24768 ÷ 215
    24768 ÷ 32768     		y = 0.755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748046875 × 2 - 1) × π
    0.49609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55852448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755859375 × 2 - 1) × π
    -0.51171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6076118656582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55852448} λ = 1.55852448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6076118656582))-π/2
    2×atan(0.200365543002917)-π/2
    2×0.197747018785645-π/2
    0.39549403757129-1.57079632675     		φ = -1.17530229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55852448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17530229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.339861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24512 KachelY 24768 1.55852448 -1.17530229 89.296875 -67.339861
    Oben rechts KachelX + 1 24513 KachelY 24768 1.55871623 -1.17530229 89.307861 -67.339861
    Unten links KachelX 24512 KachelY + 1 24769 1.55852448 -1.17537616 89.296875 -67.344093
    Unten rechts KachelX + 1 24513 KachelY + 1 24769 1.55871623 -1.17537616 89.307861 -67.344093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17530229--1.17537616) × R
    7.38699999998094e-05 × 6371000     		dl = 470.625769998785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17530229--1.17537616) × R
    7.38699999998094e-05 × 6371000     		dr = 470.625769998785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55852448-1.55871623) × cos(-1.17530229) × R
    0.000191749999999935 × 0.385264136093535 × 6371000     		do = 470.653790269044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55852448-1.55871623) × cos(-1.17537616) × R
    0.000191749999999935 × 0.385195967337939 × 6371000     		du = 470.570512641585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17530229)-sin(-1.17537616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385264136093535-0.385195967337939)×R²
    abs(1.55871623-1.55852448)×6.81687555957877e-05×R²
    0.000191749999999935×6.81687555957877e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.81687555957877e-05×40589641000000     		ar = 221482.206249726m²