Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24560 / 24624
↖ ↑ ↗
← S 66.722541°
E 89.824219°		 ← 482.75 m → S 66.722541°
E 89.835205°		 →
↑
482.73 m
↓
↑
482.73 m
↓
S 66.726883°
E 89.824219°		 ← 482.66 m →
233 016 m²		 S 66.726883°
E 89.835205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749526977539062 y=0.751480102539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749526977539062 × 215)
    floor (0.749526977539062 × 32768)
    floor (24560.5)     		tx = 24560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751480102539062 × 215)
    floor (0.751480102539062 × 32768)
    floor (24624.5)     		ty = 24624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24560 / 24624 ti = "15/24560/24624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24560/24624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24560 ÷ 215
    24560 ÷ 32768     		x = 0.74951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24624 ÷ 215
    24624 ÷ 32768     		y = 0.75146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74951171875 × 2 - 1) × π
    0.4990234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.56772837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75146484375 × 2 - 1) × π
    -0.5029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.58000021147705
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56772837} λ = 1.56772837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58000021147705))-π/2
    2×atan(0.205975054645882)-π/2
    2×0.203134147716771-π/2
    0.406268295433542-1.57079632675     		φ = -1.16452803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56772837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.824219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16452803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.722541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24560 KachelY 24624 1.56772837 -1.16452803 89.824219 -66.722541
    Oben rechts KachelX + 1 24561 KachelY 24624 1.56792011 -1.16452803 89.835205 -66.722541
    Unten links KachelX 24560 KachelY + 1 24625 1.56772837 -1.16460380 89.824219 -66.726883
    Unten rechts KachelX + 1 24561 KachelY + 1 24625 1.56792011 -1.16460380 89.835205 -66.726883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16452803--1.16460380) × R
    7.57700000000305e-05 × 6371000     		dl = 482.730670000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16452803--1.16460380) × R
    7.57700000000305e-05 × 6371000     		dr = 482.730670000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56772837-1.56792011) × cos(-1.16452803) × R
    0.000191739999999996 × 0.395184137778101 × 6371000     		do = 482.747276505708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56772837-1.56792011) × cos(-1.16460380) × R
    0.000191739999999996 × 0.39511453417589 × 6371000     		du = 482.662250447751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16452803)-sin(-1.16460380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395184137778101-0.39511453417589)×R²
    abs(1.56792011-1.56772837)×6.96036022112545e-05×R²
    0.000191739999999996×6.96036022112545e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.96036022112545e-05×40589641000000     		ar = 233016.393996138m²