Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24576 / 24576
↖ ↑ ↗
← S 66.513260°
E 90.000000°		 ← 486.84 m → S 66.513260°
E 90.010986°		 →
↑
486.81 m
↓
↑
486.81 m
↓
S 66.517638°
E 90.000000°		 ← 486.76 m →
236 978 m²		 S 66.517638°
E 90.010986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750015258789062 y=0.750015258789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750015258789062 × 215)
    floor (0.750015258789062 × 32768)
    floor (24576.5)     		tx = 24576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750015258789062 × 215)
    floor (0.750015258789062 × 32768)
    floor (24576.5)     		ty = 24576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24576 / 24576 ti = "15/24576/24576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24576/24576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24576 ÷ 215
    24576 ÷ 32768     		x = 0.75
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24576 ÷ 215
    24576 ÷ 32768     		y = 0.75
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75 × 2 - 1) × π
    0.5 × 3.1415926535     		Λ = 1.57079633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75 × 2 - 1) × π
    -0.5 × 3.1415926535     		Φ = -1.57079632675
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57079633} λ = 1.57079633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57079632675))-π/2
    2×atan(0.207879576360095)-π/2
    2×0.204960467921993-π/2
    0.409920935843985-1.57079632675     		φ = -1.16087539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57079633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16087539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.513260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24576 KachelY 24576 1.57079633 -1.16087539 90.000000 -66.513260
    Oben rechts KachelX + 1 24577 KachelY 24576 1.57098807 -1.16087539 90.010986 -66.513260
    Unten links KachelX 24576 KachelY + 1 24577 1.57079633 -1.16095180 90.000000 -66.517638
    Unten rechts KachelX + 1 24577 KachelY + 1 24577 1.57098807 -1.16095180 90.010986 -66.517638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16087539--1.16095180) × R
    7.64100000001378e-05 × 6371000     		dl = 486.808110000878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16087539--1.16095180) × R
    7.64100000001378e-05 × 6371000     		dr = 486.808110000878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57079633-1.57098807) × cos(-1.16087539) × R
    0.000191739999999996 × 0.398536816226928 × 6371000     		do = 486.84282649228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57079633-1.57098807) × cos(-1.16095180) × R
    0.000191739999999996 × 0.398466735453631 × 6371000     		du = 486.757217533796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16087539)-sin(-1.16095180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398536816226928-0.398466735453631)×R²
    abs(1.57098807-1.57079633)×7.00807732969544e-05×R²
    0.000191739999999996×7.00807732969544e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.00807732969544e-05×40589641000000     		ar = 236978.198779213m²