Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24608 / 24609
↖ ↑ ↗
← S 66.657331°
E 90.351563°		 ← 484.05 m → S 66.657331°
E 90.362549°		 →
↑
484 m
↓
↑
484 m
↓
S 66.661683°
E 90.351563°		 ← 483.96 m →
234 262 m²		 S 66.661683°
E 90.362549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750991821289062 y=0.751022338867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750991821289062 × 215)
    floor (0.750991821289062 × 32768)
    floor (24608.5)     		tx = 24608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751022338867188 × 215)
    floor (0.751022338867188 × 32768)
    floor (24609.5)     		ty = 24609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24608 / 24609 ti = "15/24608/24609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24608/24609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24608 ÷ 215
    24608 ÷ 32768     		x = 0.7509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24609 ÷ 215
    24609 ÷ 32768     		y = 0.751007080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7509765625 × 2 - 1) × π
    0.501953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.57693225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751007080078125 × 2 - 1) × π
    -0.50201416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57712399749985
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57693225} λ = 1.57693225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57712399749985))-π/2
    2×atan(0.206568335769742)-π/2
    2×0.203703216098203-π/2
    0.407406432196406-1.57079632675     		φ = -1.16338989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57693225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.351563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16338989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.657331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24608 KachelY 24609 1.57693225 -1.16338989 90.351563 -66.657331
    Oben rechts KachelX + 1 24609 KachelY 24609 1.57712400 -1.16338989 90.362549 -66.657331
    Unten links KachelX 24608 KachelY + 1 24610 1.57693225 -1.16346586 90.351563 -66.661683
    Unten rechts KachelX + 1 24609 KachelY + 1 24610 1.57712400 -1.16346586 90.362549 -66.661683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16338989--1.16346586) × R
    7.59700000001473e-05 × 6371000     		dl = 484.004870000939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16338989--1.16346586) × R
    7.59700000001473e-05 × 6371000     		dr = 484.004870000939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57693225-1.57712400) × cos(-1.16338989) × R
    0.000191749999999935 × 0.396229379194338 × 6371000     		do = 484.049361626772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57693225-1.57712400) × cos(-1.16346586) × R
    0.000191749999999935 × 0.396159626077318 × 6371000     		du = 483.964148481211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16338989)-sin(-1.16346586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396229379194338-0.396159626077318)×R²
    abs(1.57712400-1.57693225)×6.9753117019733e-05×R²
    0.000191749999999935×6.9753117019733e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.9753117019733e-05×40589641000000     		ar = 234261.62667175m²