Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 247 / 249
↖ ↑ ↗
← N  4.915833°
W  6.328125°		 ← 77.896 km → N  4.915833°
W  5.625000°		 →
↑
77.935 km
↓
↑
77.935 km
↓
N  4.214943°
W  6.328125°		 ← 77.972 km →
6 073.92 km²		 N  4.214943°
W  5.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4833984375 y=0.4873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4833984375 × 29)
    floor (0.4833984375 × 512)
    floor (247.5)     		tx = 247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4873046875 × 29)
    floor (0.4873046875 × 512)
    floor (249.5)     		ty = 249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 247 / 249 ti = "9/247/249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/247/249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 247 ÷ 29
    247 ÷ 512     		x = 0.482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 249 ÷ 29
    249 ÷ 512     		y = 0.486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482421875 × 2 - 1) × π
    -0.03515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11044662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.486328125 × 2 - 1) × π
    0.02734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0859029241191406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11044662} λ = -0.11044662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0859029241191406))-π/2
    2×atan(1.08970053953069)-π/2
    2×0.828296897326451-π/2
    1.6565937946529-1.57079632675     		φ = 0.08579747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11044662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08579747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 4.915833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 247 KachelY 249 -0.11044662 0.08579747 -6.328125 4.915833
    Oben rechts KachelX + 1 248 KachelY 249 -0.09817477 0.08579747 -5.625000 4.915833
    Unten links KachelX 247 KachelY + 1 250 -0.11044662 0.07356464 -6.328125 4.214943
    Unten rechts KachelX + 1 248 KachelY + 1 250 -0.09817477 0.07356464 -5.625000 4.214943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08579747-0.07356464) × R
    0.01223283 × 6371000     		dl = 77935.35993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08579747-0.07356464) × R
    0.01223283 × 6371000     		dr = 77935.35993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11044662--0.09817477) × cos(0.08579747) × R
    0.01227185 × 0.996321654323187 × 6371000     		do = 77896.3687321638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11044662--0.09817477) × cos(0.07356464) × R
    0.01227185 × 0.9972953419468 × 6371000     		du = 77972.4954828269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08579747)-sin(0.07356464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996321654323187-0.9972953419468)×R²
    abs(-0.09817477--0.11044662)×0.000973687623613051×R²
    0.01227185×0.000973687623613051×6371000²
    0.01227185×0.000973687623613051×40589641000000     		ar = 6073923760.33402m²