Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24712 / 24712
↖ ↑ ↗
← S 67.101655°
E 91.494141°		 ← 475.34 m → S 67.101655°
E 91.505127°		 →
↑
475.28 m
↓
↑
475.28 m
↓
S 67.105930°
E 91.494141°		 ← 475.25 m →
225 896 m²		 S 67.105930°
E 91.505127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.754165649414062 y=0.754165649414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.754165649414062 × 215)
    floor (0.754165649414062 × 32768)
    floor (24712.5)     		tx = 24712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754165649414062 × 215)
    floor (0.754165649414062 × 32768)
    floor (24712.5)     		ty = 24712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24712 / 24712 ti = "15/24712/24712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24712/24712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24712 ÷ 215
    24712 ÷ 32768     		x = 0.754150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24712 ÷ 215
    24712 ÷ 32768     		y = 0.754150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.754150390625 × 2 - 1) × π
    0.50830078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.59687400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754150390625 × 2 - 1) × π
    -0.50830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59687400014331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.59687400} λ = 1.59687400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59687400014331))-π/2
    2×atan(0.20252863396344)-π/2
    2×0.199825752130835-π/2
    0.39965150426167-1.57079632675     		φ = -1.17114482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.59687400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.494141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17114482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.101655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24712 KachelY 24712 1.59687400 -1.17114482 91.494141 -67.101655
    Oben rechts KachelX + 1 24713 KachelY 24712 1.59706575 -1.17114482 91.505127 -67.101655
    Unten links KachelX 24712 KachelY + 1 24713 1.59687400 -1.17121942 91.494141 -67.105930
    Unten rechts KachelX + 1 24713 KachelY + 1 24713 1.59706575 -1.17121942 91.505127 -67.105930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17114482--1.17121942) × R
    7.45999999998137e-05 × 6371000     		dl = 475.276599998813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17114482--1.17121942) × R
    7.45999999998137e-05 × 6371000     		dr = 475.276599998813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.59687400-1.59706575) × cos(-1.17114482) × R
    0.000191750000000157 × 0.389097335170307 × 6371000     		do = 475.336576714842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.59687400-1.59706575) × cos(-1.17121942) × R
    0.000191750000000157 × 0.389028612817757 × 6371000     		du = 475.252622791614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17114482)-sin(-1.17121942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389097335170307-0.389028612817757)×R²
    abs(1.59706575-1.59687400)×6.87223525501768e-05×R²
    0.000191750000000157×6.87223525501768e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.87223525501768e-05×40589641000000     		ar = 225896.401473013m²