Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 248 / 247
↖ ↑ ↗
← N  6.315298°
W  5.625000°		 ← 77.710 km → N  6.315298°
W  4.921875°		 →
↑
77.760 km
↓
↑
77.760 km
↓
N  5.615986°
W  5.625000°		 ← 77.809 km →
6 046.62 km²		 N  5.615986°
W  4.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4853515625 y=0.4833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4853515625 × 29)
    floor (0.4853515625 × 512)
    floor (248.5)     		tx = 248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4833984375 × 29)
    floor (0.4833984375 × 512)
    floor (247.5)     		ty = 247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 248 / 247 ti = "9/248/247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/248/247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 248 ÷ 29
    248 ÷ 512     		x = 0.484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 247 ÷ 29
    247 ÷ 512     		y = 0.482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484375 × 2 - 1) × π
    -0.03125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09817477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482421875 × 2 - 1) × π
    0.03515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.110446616724609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09817477} λ = -0.09817477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.110446616724609))-π/2
    2×atan(1.11677673026107)-π/2
    2×0.840509539766002-π/2
    1.681019079532-1.57079632675     		φ = 0.11022275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09817477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11022275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.315298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 248 KachelY 247 -0.09817477 0.11022275 -5.625000 6.315298
    Oben rechts KachelX + 1 249 KachelY 247 -0.08590292 0.11022275 -4.921875 6.315298
    Unten links KachelX 248 KachelY + 1 248 -0.09817477 0.09801744 -5.625000 5.615986
    Unten rechts KachelX + 1 249 KachelY + 1 248 -0.08590292 0.09801744 -4.921875 5.615986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11022275-0.09801744) × R
    0.01220531 × 6371000     		dl = 77760.03001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11022275-0.09801744) × R
    0.01220531 × 6371000     		dr = 77760.03001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09817477--0.08590292) × cos(0.11022275) × R
    0.01227185 × 0.993931620181548 × 6371000     		do = 77709.5064071589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09817477--0.08590292) × cos(0.09801744) × R
    0.01227185 × 0.995200135433612 × 6371000     		du = 77808.6839482556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11022275)-sin(0.09801744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993931620181548-0.995200135433612)×R²
    abs(-0.08590292--0.09817477)×0.00126851525206373×R²
    0.01227185×0.00126851525206373×6371000²
    0.01227185×0.00126851525206373×40589641000000     		ar = 6046624638.35588m²