Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24833 / 24833
↖ ↑ ↗
← S 67.613405°
E 92.823486°		 ← 465.27 m → S 67.613405°
E 92.834473°		 →
↑
465.21 m
↓
↑
465.21 m
↓
S 67.617589°
E 92.823486°		 ← 465.18 m →
216 428 m²		 S 67.617589°
E 92.834473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.757858276367188 y=0.757858276367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.757858276367188 × 215)
    floor (0.757858276367188 × 32768)
    floor (24833.5)     		tx = 24833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757858276367188 × 215)
    floor (0.757858276367188 × 32768)
    floor (24833.5)     		ty = 24833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24833 / 24833 ti = "15/24833/24833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24833/24833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24833 ÷ 215
    24833 ÷ 32768     		x = 0.757843017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24833 ÷ 215
    24833 ÷ 32768     		y = 0.757843017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.757843017578125 × 2 - 1) × π
    0.51568603515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.62007546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757843017578125 × 2 - 1) × π
    -0.51568603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62007545955942
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62007546} λ = 1.62007546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62007545955942))-π/2
    2×atan(0.19788376629839)-π/2
    2×0.195359894112074-π/2
    0.390719788224149-1.57079632675     		φ = -1.18007654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62007546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.823486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18007654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.613405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24833 KachelY 24833 1.62007546 -1.18007654 92.823486 -67.613405
    Oben rechts KachelX + 1 24834 KachelY 24833 1.62026721 -1.18007654 92.834473 -67.613405
    Unten links KachelX 24833 KachelY + 1 24834 1.62007546 -1.18014956 92.823486 -67.617589
    Unten rechts KachelX + 1 24834 KachelY + 1 24834 1.62026721 -1.18014956 92.834473 -67.617589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18007654--1.18014956) × R
    7.30200000000902e-05 × 6371000     		dl = 465.210420000575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18007654--1.18014956) × R
    7.30200000000902e-05 × 6371000     		dr = 465.210420000575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62007546-1.62026721) × cos(-1.18007654) × R
    0.000191749999999935 × 0.380854053906962 × 6371000     		do = 465.266260774203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62007546-1.62026721) × cos(-1.18014956) × R
    0.000191749999999935 × 0.380786536031881 × 6371000     		du = 465.183778287928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18007654)-sin(-1.18014956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380854053906962-0.380786536031881)×R²
    abs(1.62026721-1.62007546)×6.75178750802474e-05×R²
    0.000191749999999935×6.75178750802474e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.75178750802474e-05×40589641000000     		ar = 216427.52682701m²