Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 255 / 255
↖ ↑ ↗
← N  0.703107°
W  0.703125°		 ← 78.178 km → N  0.703107°
E  0.000000°		 →
↑
78.182 km
↓
↑
78.182 km
↓
N  0.000000°
W  0.703125°		 ← 78.184 km →
6 112.42 km²		 N  0.000000°
E  0.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4990234375 y=0.4990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4990234375 × 29)
    floor (0.4990234375 × 512)
    floor (255.5)     		tx = 255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4990234375 × 29)
    floor (0.4990234375 × 512)
    floor (255.5)     		ty = 255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 255 / 255 ti = "9/255/255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/255/255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 255 ÷ 29
    255 ÷ 512     		x = 0.498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 255 ÷ 29
    255 ÷ 512     		y = 0.498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498046875 × 2 - 1) × π
    -0.00390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01227185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.498046875 × 2 - 1) × π
    0.00390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0122718463027344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01227185} λ = -0.01227185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0122718463027344))-π/2
    2×atan(1.01234745437557)-π/2
    2×0.791533932544771-π/2
    1.58306786508954-1.57079632675     		φ = 0.01227154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01227185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01227154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.703107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 255 KachelY 255 -0.01227185 0.01227154 -0.703125 0.703107
    Oben rechts KachelX + 1 256 KachelY 255 0.00000000 0.01227154 0.000000 0.703107
    Unten links KachelX 255 KachelY + 1 256 -0.01227185 0.00000000 -0.703125 0.000000
    Unten rechts KachelX + 1 256 KachelY + 1 256 0.00000000 0.00000000 0.000000 0.000000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01227154-0.00000000) × R
    0.01227154 × 6371000     		dl = 78181.98134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01227154-0.00000000) × R
    0.01227154 × 6371000     		dr = 78181.98134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01227185-0.00000000) × cos(0.01227154) × R
    0.01227185 × 0.999924705597908 × 6371000     		do = 78178.0695357534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01227185-0.00000000) × cos(0.00000000) × R
    0.01227185 × 1 × 6371000     		du = 78183.95635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01227154)-sin(0.00000000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999924705597908-1)×R²
    abs(0.00000000--0.01227185)×7.52944020923074e-05×R²
    0.01227185×7.52944020923074e-05×6371000²
    0.01227185×7.52944020923074e-05×40589641000000     		ar = 6112423201.40579m²