Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2572 / 2572
↖ ↑ ↗
← S 41.771312°
E 46.054687°		 ← 7 288.79 m → S 41.771312°
E 46.142578°		 →
↑
7 285.05 m
↓
↑
7 285.05 m
↓
S 41.836828°
E 46.054687°		 ← 7 281.34 m →
53 072 035 m²		 S 41.836828°
E 46.142578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6280517578125 y=0.6280517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6280517578125 × 212)
    floor (0.6280517578125 × 4096)
    floor (2572.5)     		tx = 2572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6280517578125 × 212)
    floor (0.6280517578125 × 4096)
    floor (2572.5)     		ty = 2572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2572 / 2572 ti = "12/2572/2572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2572/2572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2572 ÷ 212
    2572 ÷ 4096     		x = 0.6279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2572 ÷ 212
    2572 ÷ 4096     		y = 0.6279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6279296875 × 2 - 1) × π
    0.255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80380593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6279296875 × 2 - 1) × π
    -0.255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.803805932829102
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80380593} λ = 0.80380593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.803805932829102))-π/2
    2×atan(0.447622098430045)-π/2
    2×0.420874702561693-π/2
    0.841749405123385-1.57079632675     		φ = -0.72904692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80380593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.054687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72904692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.771312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2572 KachelY 2572 0.80380593 -0.72904692 46.054687 -41.771312
    Oben rechts KachelX + 1 2573 KachelY 2572 0.80533991 -0.72904692 46.142578 -41.771312
    Unten links KachelX 2572 KachelY + 1 2573 0.80380593 -0.73019039 46.054687 -41.836828
    Unten rechts KachelX + 1 2573 KachelY + 1 2573 0.80533991 -0.73019039 46.142578 -41.836828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72904692--0.73019039) × R
    0.00114346999999992 × 6371000     		dl = 7285.04736999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72904692--0.73019039) × R
    0.00114346999999992 × 6371000     		dr = 7285.04736999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80380593-0.80533991) × cos(-0.72904692) × R
    0.00153398000000005 × 0.745809643916539 × 6371000     		do = 7288.78764123113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80380593-0.80533991) × cos(-0.73019039) × R
    0.00153398000000005 × 0.745047423530157 × 6371000     		du = 7281.33847162402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72904692)-sin(-0.73019039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745809643916539-0.745047423530157)×R²
    abs(0.80533991-0.80380593)×0.000762220386381629×R²
    0.00153398000000005×0.000762220386381629×6371000²
    0.00153398000000005×0.000762220386381629×40589641000000     		ar = 53072035.2422571m²