Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2576 / 2577
↖ ↑ ↗
← S 42.098222°
E 46.406250°		 ← 7 251.52 m → S 42.098222°
E 46.494141°		 →
↑
7 247.78 m
↓
↑
7 247.78 m
↓
S 42.163403°
E 46.406250°		 ← 7 244.07 m →
52 530 401 m²		 S 42.163403°
E 46.494141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6290283203125 y=0.6292724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6290283203125 × 212)
    floor (0.6290283203125 × 4096)
    floor (2576.5)     		tx = 2576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6292724609375 × 212)
    floor (0.6292724609375 × 4096)
    floor (2577.5)     		ty = 2577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2576 / 2577 ti = "12/2576/2577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2576/2577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2576 ÷ 212
    2576 ÷ 4096     		x = 0.62890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2577 ÷ 212
    2577 ÷ 4096     		y = 0.629150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62890625 × 2 - 1) × π
    0.2578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80994186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629150390625 × 2 - 1) × π
    -0.25830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.811475836768311
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80994186} λ = 0.80994186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.811475836768311))-π/2
    2×atan(0.444202012565264)-π/2
    2×0.41802186824999-π/2
    0.836043736499979-1.57079632675     		φ = -0.73475259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80994186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73475259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.098222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2576 KachelY 2577 0.80994186 -0.73475259 46.406250 -42.098222
    Oben rechts KachelX + 1 2577 KachelY 2577 0.81147584 -0.73475259 46.494141 -42.098222
    Unten links KachelX 2576 KachelY + 1 2578 0.80994186 -0.73589021 46.406250 -42.163403
    Unten rechts KachelX + 1 2577 KachelY + 1 2578 0.81147584 -0.73589021 46.494141 -42.163403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73475259--0.73589021) × R
    0.00113761999999995 × 6371000     		dl = 7247.77701999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73475259--0.73589021) × R
    0.00113761999999995 × 6371000     		dr = 7247.77701999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80994186-0.81147584) × cos(-0.73475259) × R
    0.00153397999999993 × 0.741996640664448 × 6371000     		do = 7251.52321161843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80994186-0.81147584) × cos(-0.73589021) × R
    0.00153397999999993 × 0.741233496148639 × 6371000     		du = 7244.06501050682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73475259)-sin(-0.73589021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741996640664448-0.741233496148639)×R²
    abs(0.81147584-0.80994186)×0.000763144515809167×R²
    0.00153397999999993×0.000763144515809167×6371000²
    0.00153397999999993×0.000763144515809167×40589641000000     		ar = 52530401.2691602m²