Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 259 / 261
↖ ↑ ↗
← S  3.513421°
E  2.109375°		 ← 78.037 km → S  3.513421°
E  2.812500°		 →
↑
78.006 km
↓
↑
78.006 km
↓
S  4.214943°
E  2.109375°		 ← 77.972 km →
6 084.89 km²		 S  4.214943°
E  2.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5068359375 y=0.5107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5068359375 × 29)
    floor (0.5068359375 × 512)
    floor (259.5)     		tx = 259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5107421875 × 29)
    floor (0.5107421875 × 512)
    floor (261.5)     		ty = 261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 259 / 261 ti = "9/259/261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/259/261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 259 ÷ 29
    259 ÷ 512     		x = 0.505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 261 ÷ 29
    261 ÷ 512     		y = 0.509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505859375 × 2 - 1) × π
    0.01171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.03681554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509765625 × 2 - 1) × π
    -0.01953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0613592315136719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03681554} λ = 0.03681554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0613592315136719))-π/2
    2×atan(0.940485327117559)-π/2
    2×0.754737780770683-π/2
    1.50947556154137-1.57079632675     		φ = -0.06132077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03681554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06132077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.513421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 259 KachelY 261 0.03681554 -0.06132077 2.109375 -3.513421
    Oben rechts KachelX + 1 260 KachelY 261 0.04908739 -0.06132077 2.812500 -3.513421
    Unten links KachelX 259 KachelY + 1 262 0.03681554 -0.07356464 2.109375 -4.214943
    Unten rechts KachelX + 1 260 KachelY + 1 262 0.04908739 -0.07356464 2.812500 -4.214943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06132077--0.07356464) × R
    0.01224387 × 6371000     		dl = 78005.69577m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06132077--0.07356464) × R
    0.01224387 × 6371000     		dr = 78005.69577m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03681554-0.04908739) × cos(-0.06132077) × R
    0.01227185 × 0.998120470650342 × 6371000     		do = 78037.0073093678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03681554-0.04908739) × cos(-0.07356464) × R
    0.01227185 × 0.9972953419468 × 6371000     		du = 77972.4954828269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06132077)-sin(-0.07356464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998120470650342-0.9972953419468)×R²
    abs(0.04908739-0.03681554)×0.000825128703541789×R²
    0.01227185×0.000825128703541789×6371000²
    0.01227185×0.000825128703541789×40589641000000     		ar = 6084890922.90118m²