Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 259 / 267
↖ ↑ ↗
← S  7.710991°
E  2.109375°		 ← 77.477 km → S  7.710991°
E  2.812500°		 →
↑
77.411 km
↓
↑
77.411 km
↓
S  8.407168°
E  2.109375°		 ← 77.344 km →
5 992.52 km²		 S  8.407168°
E  2.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5068359375 y=0.5224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5068359375 × 29)
    floor (0.5068359375 × 512)
    floor (259.5)     		tx = 259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5224609375 × 29)
    floor (0.5224609375 × 512)
    floor (267.5)     		ty = 267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 259 / 267 ti = "9/259/267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/259/267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 259 ÷ 29
    259 ÷ 512     		x = 0.505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 267 ÷ 29
    267 ÷ 512     		y = 0.521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505859375 × 2 - 1) × π
    0.01171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.03681554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521484375 × 2 - 1) × π
    -0.04296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.134990309330078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03681554} λ = 0.03681554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.134990309330078))-π/2
    2×atan(0.873724378621565)-π/2
    2×0.718107066908801-π/2
    1.4362141338176-1.57079632675     		φ = -0.13458219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03681554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13458219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.710991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 259 KachelY 267 0.03681554 -0.13458219 2.109375 -7.710991
    Oben rechts KachelX + 1 260 KachelY 267 0.04908739 -0.13458219 2.812500 -7.710991
    Unten links KachelX 259 KachelY + 1 268 0.03681554 -0.14673277 2.109375 -8.407168
    Unten rechts KachelX + 1 260 KachelY + 1 268 0.04908739 -0.14673277 2.812500 -8.407168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13458219--0.14673277) × R
    0.01215058 × 6371000     		dl = 77411.3451800001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13458219--0.14673277) × R
    0.01215058 × 6371000     		dr = 77411.3451800001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03681554-0.04908739) × cos(-0.13458219) × R
    0.01227185 × 0.990957477892313 × 6371000     		do = 77476.9761962387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03681554-0.04908739) × cos(-0.14673277) × R
    0.01227185 × 0.989254048358907 × 6371000     		du = 77343.7953359536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13458219)-sin(-0.14673277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990957477892313-0.989254048358907)×R²
    abs(0.04908739-0.03681554)×0.00170342953340585×R²
    0.01227185×0.00170342953340585×6371000²
    0.01227185×0.00170342953340585×40589641000000     		ar = 5992515819.45658m²