Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 262 / 254
↖ ↑ ↗
← N  1.406109°
E  4.218750°		 ← 78.160 km → N  1.406109°
E  4.921875°		 →
↑
78.170 km
↓
↑
78.170 km
↓
N  0.703107°
E  4.218750°		 ← 78.178 km →
6 110.58 km²		 N  0.703107°
E  4.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5126953125 y=0.4970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5126953125 × 29)
    floor (0.5126953125 × 512)
    floor (262.5)     		tx = 262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4970703125 × 29)
    floor (0.4970703125 × 512)
    floor (254.5)     		ty = 254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 262 / 254 ti = "9/262/254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/262/254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 262 ÷ 29
    262 ÷ 512     		x = 0.51171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 254 ÷ 29
    254 ÷ 512     		y = 0.49609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51171875 × 2 - 1) × π
    0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49609375 × 2 - 1) × π
    0.0078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0245436926054688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07363108} λ = 0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0245436926054688))-π/2
    2×atan(1.02484736838071)-π/2
    2×0.797668777806961-π/2
    1.59533755561392-1.57079632675     		φ = 0.02454123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02454123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.406109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 262 KachelY 254 0.07363108 0.02454123 4.218750 1.406109
    Oben rechts KachelX + 1 263 KachelY 254 0.08590292 0.02454123 4.921875 1.406109
    Unten links KachelX 262 KachelY + 1 255 0.07363108 0.01227154 4.218750 0.703107
    Unten rechts KachelX + 1 263 KachelY + 1 255 0.08590292 0.01227154 4.921875 0.703107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02454123-0.01227154) × R
    0.01226969 × 6371000     		dl = 78170.19499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02454123-0.01227154) × R
    0.01226969 × 6371000     		dr = 78170.19499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07363108-0.08590292) × cos(0.02454123) × R
    0.01227184 × 0.999698879128554 × 6371000     		do = 78160.3498381151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07363108-0.08590292) × cos(0.01227154) × R
    0.01227184 × 0.999924705597908 × 6371000     		du = 78178.0058305504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02454123)-sin(0.01227154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999698879128554-0.999924705597908)×R²
    abs(0.08590292-0.07363108)×0.000225826469353985×R²
    0.01227184×0.000225826469353985×6371000²
    0.01227184×0.000225826469353985×40589641000000     		ar = 6110576533.58786m²