Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 263 / 265
↖ ↑ ↗
← S  6.315298°
E  4.921875°		 ← 77.710 km → S  6.315298°
E  5.625000°		 →
↑
77.655 km
↓
↑
77.655 km
↓
S  7.013668°
E  4.921875°		 ← 77.599 km →
6 030.32 km²		 S  7.013668°
E  5.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5146484375 y=0.5185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5146484375 × 29)
    floor (0.5146484375 × 512)
    floor (263.5)     		tx = 263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5185546875 × 29)
    floor (0.5185546875 × 512)
    floor (265.5)     		ty = 265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 263 / 265 ti = "9/263/265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/263/265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 263 ÷ 29
    263 ÷ 512     		x = 0.513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 265 ÷ 29
    265 ÷ 512     		y = 0.517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513671875 × 2 - 1) × π
    0.02734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.08590292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.517578125 × 2 - 1) × π
    -0.03515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.110446616724609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08590292} λ = 0.08590292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.110446616724609))-π/2
    2×atan(0.895434130120379)-π/2
    2×0.730286787028895-π/2
    1.46057357405779-1.57079632675     		φ = -0.11022275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08590292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11022275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.315298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 263 KachelY 265 0.08590292 -0.11022275 4.921875 -6.315298
    Oben rechts KachelX + 1 264 KachelY 265 0.09817477 -0.11022275 5.625000 -6.315298
    Unten links KachelX 263 KachelY + 1 266 0.08590292 -0.12241160 4.921875 -7.013668
    Unten rechts KachelX + 1 264 KachelY + 1 266 0.09817477 -0.12241160 5.625000 -7.013668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11022275--0.12241160) × R
    0.01218885 × 6371000     		dl = 77655.16335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11022275--0.12241160) × R
    0.01218885 × 6371000     		dr = 77655.16335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08590292-0.09817477) × cos(-0.11022275) × R
    0.01227185 × 0.993931620181548 × 6371000     		do = 77709.5064071589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08590292-0.09817477) × cos(-0.12241160) × R
    0.01227185 × 0.992517051180543 × 6371000     		du = 77598.9098061303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11022275)-sin(-0.12241160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993931620181548-0.992517051180543)×R²
    abs(0.09817477-0.08590292)×0.00141456900100501×R²
    0.01227185×0.00141456900100501×6371000²
    0.01227185×0.00141456900100501×40589641000000     		ar = 6030324874.99574m²