Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 264 / 264
↖ ↑ ↗
← S  5.615986°
E  5.625000°		 ← 77.809 km → S  5.615986°
E  6.328125°		 →
↑
77.760 km
↓
↑
77.760 km
↓
S  6.315298°
E  5.625000°		 ← 77.710 km →
6 046.62 km²		 S  6.315298°
E  6.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5166015625 y=0.5166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5166015625 × 29)
    floor (0.5166015625 × 512)
    floor (264.5)     		tx = 264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5166015625 × 29)
    floor (0.5166015625 × 512)
    floor (264.5)     		ty = 264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 264 / 264 ti = "9/264/264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/264/264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 264 ÷ 29
    264 ÷ 512     		x = 0.515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 264 ÷ 29
    264 ÷ 512     		y = 0.515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515625 × 2 - 1) × π
    0.03125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09817477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.515625 × 2 - 1) × π
    -0.03125 × 3.1415926535     		Φ = -0.098174770421875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09817477} λ = 0.09817477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.098174770421875))-π/2
    2×atan(0.906490462188372)-π/2
    2×0.736389441754059-π/2
    1.47277888350812-1.57079632675     		φ = -0.09801744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09817477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.09801744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.615986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 264 KachelY 264 0.09817477 -0.09801744 5.625000 -5.615986
    Oben rechts KachelX + 1 265 KachelY 264 0.11044662 -0.09801744 6.328125 -5.615986
    Unten links KachelX 264 KachelY + 1 265 0.09817477 -0.11022275 5.625000 -6.315298
    Unten rechts KachelX + 1 265 KachelY + 1 265 0.11044662 -0.11022275 6.328125 -6.315298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.09801744--0.11022275) × R
    0.01220531 × 6371000     		dl = 77760.03001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.09801744--0.11022275) × R
    0.01220531 × 6371000     		dr = 77760.03001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09817477-0.11044662) × cos(-0.09801744) × R
    0.01227185 × 0.995200135433612 × 6371000     		do = 77808.6839482556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09817477-0.11044662) × cos(-0.11022275) × R
    0.01227185 × 0.993931620181548 × 6371000     		du = 77709.5064071589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.09801744)-sin(-0.11022275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995200135433612-0.993931620181548)×R²
    abs(0.11044662-0.09817477)×0.00126851525206373×R²
    0.01227185×0.00126851525206373×6371000²
    0.01227185×0.00126851525206373×40589641000000     		ar = 6046624638.35588m²