Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 265 / 279
↖ ↑ ↗
← S 15.961329°
E  6.328125°		 ← 75.170 km → S 15.961329°
E  7.031250°		 →
↑
75.041 km
↓
↑
75.041 km
↓
S 16.636192°
E  6.328125°		 ← 74.911 km →
5 631.20 km²		 S 16.636192°
E  7.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5185546875 y=0.5458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5185546875 × 29)
    floor (0.5185546875 × 512)
    floor (265.5)     		tx = 265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5458984375 × 29)
    floor (0.5458984375 × 512)
    floor (279.5)     		ty = 279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 265 / 279 ti = "9/265/279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/265/279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 265 ÷ 29
    265 ÷ 512     		x = 0.517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 279 ÷ 29
    279 ÷ 512     		y = 0.544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517578125 × 2 - 1) × π
    0.03515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11044662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.544921875 × 2 - 1) × π
    -0.08984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.282252464962891
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11044662} λ = 0.11044662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.282252464962891))-π/2
    2×atan(0.754083280891449)-π/2
    2×0.646109290667234-π/2
    1.29221858133447-1.57079632675     		φ = -0.27857775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11044662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.27857775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -15.961329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 265 KachelY 279 0.11044662 -0.27857775 6.328125 -15.961329
    Oben rechts KachelX + 1 266 KachelY 279 0.12271846 -0.27857775 7.031250 -15.961329
    Unten links KachelX 265 KachelY + 1 280 0.11044662 -0.29035632 6.328125 -16.636192
    Unten rechts KachelX + 1 266 KachelY + 1 280 0.12271846 -0.29035632 7.031250 -16.636192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.27857775--0.29035632) × R
    0.01177857 × 6371000     		dl = 75041.2694699999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.27857775--0.29035632) × R
    0.01177857 × 6371000     		dr = 75041.2694699999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11044662-0.12271846) × cos(-0.27857775) × R
    0.01227184 × 0.961447512990499 × 6371000     		do = 75169.7091346442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11044662-0.12271846) × cos(-0.29035632) × R
    0.01227184 × 0.958141924186794 × 6371000     		du = 74911.2653345034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.27857775)-sin(-0.29035632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.961447512990499-0.958141924186794)×R²
    abs(0.12271846-0.11044662)×0.00330558880370413×R²
    0.01227184×0.00330558880370413×6371000²
    0.01227184×0.00330558880370413×40589641000000     		ar = 5631198527.43873m²