Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26640 / 26640
↖ ↑ ↗
← S 74.067866°
E112.675781°		 ← 335.34 m → S 74.067866°
E112.686768°		 →
↑
335.31 m
↓
↑
335.31 m
↓
S 74.070882°
E112.675781°		 ← 335.28 m →
112 430 m²		 S 74.070882°
E112.686768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813003540039062 y=0.813003540039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813003540039062 × 215)
    floor (0.813003540039062 × 32768)
    floor (26640.5)     		tx = 26640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.813003540039062 × 215)
    floor (0.813003540039062 × 32768)
    floor (26640.5)     		ty = 26640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26640 / 26640 ti = "15/26640/26640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26640/26640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26640 ÷ 215
    26640 ÷ 32768     		x = 0.81298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26640 ÷ 215
    26640 ÷ 32768     		y = 0.81298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81298828125 × 2 - 1) × π
    0.6259765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.96656337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.81298828125 × 2 - 1) × π
    -0.6259765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.96656337001318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96656337} λ = 1.96656337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.96656337001318))-π/2
    2×atan(0.139936942295595)-π/2
    2×0.139034095414686-π/2
    0.278068190829372-1.57079632675     		φ = -1.29272814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96656337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.29272814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -74.067866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26640 KachelY 26640 1.96656337 -1.29272814 112.675781 -74.067866
    Oben rechts KachelX + 1 26641 KachelY 26640 1.96675512 -1.29272814 112.686768 -74.067866
    Unten links KachelX 26640 KachelY + 1 26641 1.96656337 -1.29278077 112.675781 -74.070882
    Unten rechts KachelX + 1 26641 KachelY + 1 26641 1.96675512 -1.29278077 112.686768 -74.070882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.29272814--1.29278077) × R
    5.2630000000109e-05 × 6371000     		dl = 335.305730000694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.29272814--1.29278077) × R
    5.2630000000109e-05 × 6371000     		dr = 335.305730000694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96656337-1.96675512) × cos(-1.29272814) × R
    0.000191749999999935 × 0.274498554466336 × 6371000     		do = 335.338208204226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96656337-1.96675512) × cos(-1.29278077) × R
    0.000191749999999935 × 0.274447945735424 × 6371000     		du = 335.276382592151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.29272814)-sin(-1.29278077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.274498554466336-0.274447945735424)×R²
    abs(1.96675512-1.96656337)×5.06087309122827e-05×R²
    0.000191749999999935×5.06087309122827e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.06087309122827e-05×40589641000000     		ar = 112430.457484494m²