Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 268 / 244
↖ ↑ ↗
← N  8.407168°
E  8.437500°		 ← 77.344 km → N  8.407168°
E  9.140625°		 →
↑
77.411 km
↓
↑
77.411 km
↓
N  7.710991°
E  8.437500°		 ← 77.477 km →
5 992.51 km²		 N  7.710991°
E  9.140625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5244140625 y=0.4775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5244140625 × 29)
    floor (0.5244140625 × 512)
    floor (268.5)     		tx = 268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4775390625 × 29)
    floor (0.4775390625 × 512)
    floor (244.5)     		ty = 244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 268 / 244 ti = "9/268/244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/268/244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 268 ÷ 29
    268 ÷ 512     		x = 0.5234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 244 ÷ 29
    244 ÷ 512     		y = 0.4765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5234375 × 2 - 1) × π
    0.046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14726216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4765625 × 2 - 1) × π
    0.046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.147262155632813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14726216} λ = 0.14726216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.147262155632813))-π/2
    2×atan(1.1586576718538)-π/2
    2×0.858764546007208-π/2
    1.71752909201442-1.57079632675     		φ = 0.14673277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14726216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.14673277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.407168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 268 KachelY 244 0.14726216 0.14673277 8.437500 8.407168
    Oben rechts KachelX + 1 269 KachelY 244 0.15953400 0.14673277 9.140625 8.407168
    Unten links KachelX 268 KachelY + 1 245 0.14726216 0.13458219 8.437500 7.710991
    Unten rechts KachelX + 1 269 KachelY + 1 245 0.15953400 0.13458219 9.140625 7.710991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.14673277-0.13458219) × R
    0.01215058 × 6371000     		dl = 77411.3451800001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.14673277-0.13458219) × R
    0.01215058 × 6371000     		dr = 77411.3451800001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14726216-0.15953400) × cos(0.14673277) × R
    0.01227184 × 0.989254048358907 × 6371000     		do = 77343.7323105782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14726216-0.15953400) × cos(0.13458219) × R
    0.01227184 × 0.990957477892313 × 6371000     		du = 77476.9130623378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.14673277)-sin(0.13458219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989254048358907-0.990957477892313)×R²
    abs(0.15953400-0.14726216)×0.00170342953340585×R²
    0.01227184×0.00170342953340585×6371000²
    0.01227184×0.00170342953340585×40589641000000     		ar = 5992510936.31686m²