Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 271 / 271
↖ ↑ ↗
← S 10.487812°
E 10.546875°		 ← 76.878 km → S 10.487812°
E 11.250000°		 →
↑
76.790 km
↓
↑
76.790 km
↓
S 11.178402°
E 10.546875°		 ← 76.701 km →
5 896.72 km²		 S 11.178402°
E 11.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5302734375 y=0.5302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5302734375 × 29)
    floor (0.5302734375 × 512)
    floor (271.5)     		tx = 271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5302734375 × 29)
    floor (0.5302734375 × 512)
    floor (271.5)     		ty = 271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 271 / 271 ti = "9/271/271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/271/271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 271 ÷ 29
    271 ÷ 512     		x = 0.529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 271 ÷ 29
    271 ÷ 512     		y = 0.529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529296875 × 2 - 1) × π
    0.05859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.18407769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529296875 × 2 - 1) × π
    -0.05859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.184077694541016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18407769} λ = 0.18407769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.184077694541016))-π/2
    2×atan(0.83187116946714)-π/2
    2×0.693874739064199-π/2
    1.3877494781284-1.57079632675     		φ = -0.18304685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18407769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18304685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.487812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 271 KachelY 271 0.18407769 -0.18304685 10.546875 -10.487812
    Oben rechts KachelX + 1 272 KachelY 271 0.19634954 -0.18304685 11.250000 -10.487812
    Unten links KachelX 271 KachelY + 1 272 0.18407769 -0.19509992 10.546875 -11.178402
    Unten rechts KachelX + 1 272 KachelY + 1 272 0.19634954 -0.19509992 11.250000 -11.178402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18304685--0.19509992) × R
    0.01205307 × 6371000     		dl = 76790.10897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18304685--0.19509992) × R
    0.01205307 × 6371000     		dr = 76790.10897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18407769-0.19634954) × cos(-0.18304685) × R
    0.01227185 × 0.983293650724252 × 6371000     		do = 76877.7878674571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18407769-0.19634954) × cos(-0.19509992) × R
    0.01227185 × 0.981028303500043 × 6371000     		du = 76700.6740589619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18304685)-sin(-0.19509992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983293650724252-0.981028303500043)×R²
    abs(0.19634954-0.18407769)×0.00226534722420901×R²
    0.01227185×0.00226534722420901×6371000²
    0.01227185×0.00226534722420901×40589641000000     		ar = 5896724801.52017m²