Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 274 / 278
↖ ↑ ↗
← S 15.284185°
E 12.656250°		 ← 75.419 km → S 15.284185°
E 13.359375°		 →
↑
75.295 km
↓
↑
75.295 km
↓
S 15.961329°
E 12.656250°		 ← 75.170 km →
5 669.34 km²		 S 15.961329°
E 13.359375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5361328125 y=0.5439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5361328125 × 29)
    floor (0.5361328125 × 512)
    floor (274.5)     		tx = 274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5439453125 × 29)
    floor (0.5439453125 × 512)
    floor (278.5)     		ty = 278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 274 / 278 ti = "9/274/278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/274/278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 274 ÷ 29
    274 ÷ 512     		x = 0.53515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 278 ÷ 29
    278 ÷ 512     		y = 0.54296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53515625 × 2 - 1) × π
    0.0703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22089323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.54296875 × 2 - 1) × π
    -0.0859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.269980618660156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22089323} λ = 0.22089323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.269980618660156))-π/2
    2×atan(0.76339428979764)-π/2
    2×0.652018486538701-π/2
    1.3040369730774-1.57079632675     		φ = -0.26675935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22089323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.26675935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -15.284185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 274 KachelY 278 0.22089323 -0.26675935 12.656250 -15.284185
    Oben rechts KachelX + 1 275 KachelY 278 0.23316508 -0.26675935 13.359375 -15.284185
    Unten links KachelX 274 KachelY + 1 279 0.22089323 -0.27857775 12.656250 -15.961329
    Unten rechts KachelX + 1 275 KachelY + 1 279 0.23316508 -0.27857775 13.359375 -15.961329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.26675935--0.27857775) × R
    0.0118184 × 6371000     		dl = 75295.0264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.26675935--0.27857775) × R
    0.0118184 × 6371000     		dr = 75295.0264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22089323-0.23316508) × cos(-0.26675935) × R
    0.01227185 × 0.964630217417108 × 6371000     		do = 75418.6068124302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22089323-0.23316508) × cos(-0.27857775) × R
    0.01227185 × 0.961447512990499 × 6371000     		du = 75169.7703884652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.26675935)-sin(-0.27857775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964630217417108-0.961447512990499)×R²
    abs(0.23316508-0.22089323)×0.00318270442660951×R²
    0.01227185×0.00318270442660951×6371000²
    0.01227185×0.00318270442660951×40589641000000     		ar = 5669343907.19268m²