Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 275 / 276
↖ ↑ ↗
← S 13.923404°
E 13.359375°		 ← 75.887 km → S 13.923404°
E 14.062500°		 →
↑
75.773 km
↓
↑
75.773 km
↓
S 14.604847°
E 13.359375°		 ← 75.658 km →
5 741.56 km²		 S 14.604847°
E 14.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5380859375 y=0.5400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5380859375 × 29)
    floor (0.5380859375 × 512)
    floor (275.5)     		tx = 275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5400390625 × 29)
    floor (0.5400390625 × 512)
    floor (276.5)     		ty = 276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 275 / 276 ti = "9/275/276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/275/276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 275 ÷ 29
    275 ÷ 512     		x = 0.537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 276 ÷ 29
    276 ÷ 512     		y = 0.5390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537109375 × 2 - 1) × π
    0.07421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23316508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5390625 × 2 - 1) × π
    -0.078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.245436926054688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23316508} λ = 0.23316508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.245436926054688))-π/2
    2×atan(0.78236262893597)-π/2
    2×0.663893542850711-π/2
    1.32778708570142-1.57079632675     		φ = -0.24300924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23316508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.359375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.24300924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -13.923404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 275 KachelY 276 0.23316508 -0.24300924 13.359375 -13.923404
    Oben rechts KachelX + 1 276 KachelY 276 0.24543693 -0.24300924 14.062500 -13.923404
    Unten links KachelX 275 KachelY + 1 277 0.23316508 -0.25490267 13.359375 -14.604847
    Unten rechts KachelX + 1 276 KachelY + 1 277 0.24543693 -0.25490267 14.062500 -14.604847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.24300924--0.25490267) × R
    0.01189343 × 6371000     		dl = 75773.0425300001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.24300924--0.25490267) × R
    0.01189343 × 6371000     		dr = 75773.0425300001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23316508-0.24543693) × cos(-0.24300924) × R
    0.01227185 × 0.970618273695534 × 6371000     		do = 75886.7767431239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23316508-0.24543693) × cos(-0.25490267) × R
    0.01227185 × 0.96768784215076 × 6371000     		du = 75657.6640111407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.24300924)-sin(-0.25490267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970618273695534-0.96768784215076)×R²
    abs(0.24543693-0.23316508)×0.0029304315447739×R²
    0.01227185×0.0029304315447739×6371000²
    0.01227185×0.0029304315447739×40589641000000     		ar = 5741559357.77886m²