Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 276 / 277
↖ ↑ ↗
← S 14.604847°
E 14.062500°		 ← 75.658 km → S 14.604847°
E 14.765625°		 →
↑
75.539 km
↓
↑
75.539 km
↓
S 15.284185°
E 14.062500°		 ← 75.419 km →
5 706.13 km²		 S 15.284185°
E 14.765625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5400390625 y=0.5419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5400390625 × 29)
    floor (0.5400390625 × 512)
    floor (276.5)     		tx = 276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5419921875 × 29)
    floor (0.5419921875 × 512)
    floor (277.5)     		ty = 277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 276 / 277 ti = "9/276/277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/276/277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 276 ÷ 29
    276 ÷ 512     		x = 0.5390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 277 ÷ 29
    277 ÷ 512     		y = 0.541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5390625 × 2 - 1) × π
    0.078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24543693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.541015625 × 2 - 1) × π
    -0.08203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.257708772357422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24543693} λ = 0.24543693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.257708772357422))-π/2
    2×atan(0.772820265961491)-π/2
    2×0.657946828597904-π/2
    1.31589365719581-1.57079632675     		φ = -0.25490267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24543693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.25490267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -14.604847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 276 KachelY 277 0.24543693 -0.25490267 14.062500 -14.604847
    Oben rechts KachelX + 1 277 KachelY 277 0.25770877 -0.25490267 14.765625 -14.604847
    Unten links KachelX 276 KachelY + 1 278 0.24543693 -0.26675935 14.062500 -15.284185
    Unten rechts KachelX + 1 277 KachelY + 1 278 0.25770877 -0.26675935 14.765625 -15.284185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.25490267--0.26675935) × R
    0.01185668 × 6371000     		dl = 75538.90828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.25490267--0.26675935) × R
    0.01185668 × 6371000     		dr = 75538.90828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24543693-0.25770877) × cos(-0.25490267) × R
    0.01227184 × 0.96768784215076 × 6371000     		do = 75657.6023597481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24543693-0.25770877) × cos(-0.26675935) × R
    0.01227184 × 0.964630217417108 × 6371000     		du = 75418.5453558389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.25490267)-sin(-0.26675935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96768784215076-0.964630217417108)×R²
    abs(0.25770877-0.24543693)×0.00305762473365156×R²
    0.01227184×0.00305762473365156×6371000²
    0.01227184×0.00305762473365156×40589641000000     		ar = 5706130480.67617m²