Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 278 / 270
↖ ↑ ↗
← S  9.795678°
E 15.468750°		 ← 77.044 km → S  9.795678°
E 16.171875°		 →
↑
76.962 km
↓
↑
76.962 km
↓
S 10.487812°
E 15.468750°		 ← 76.878 km →
5 923.12 km²		 S 10.487812°
E 16.171875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5439453125 y=0.5283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5439453125 × 29)
    floor (0.5439453125 × 512)
    floor (278.5)     		tx = 278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5283203125 × 29)
    floor (0.5283203125 × 512)
    floor (270.5)     		ty = 270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 278 / 270 ti = "9/278/270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/278/270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 278 ÷ 29
    278 ÷ 512     		x = 0.54296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 270 ÷ 29
    270 ÷ 512     		y = 0.52734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54296875 × 2 - 1) × π
    0.0859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26998062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52734375 × 2 - 1) × π
    -0.0546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.171805848238281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26998062} λ = 0.26998062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.171805848238281))-π/2
    2×atan(0.842142660778491)-π/2
    2×0.699914750257779-π/2
    1.39982950051556-1.57079632675     		φ = -0.17096683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26998062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17096683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.795678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 278 KachelY 270 0.26998062 -0.17096683 15.468750 -9.795678
    Oben rechts KachelX + 1 279 KachelY 270 0.28225246 -0.17096683 16.171875 -9.795678
    Unten links KachelX 278 KachelY + 1 271 0.26998062 -0.18304685 15.468750 -10.487812
    Unten rechts KachelX + 1 279 KachelY + 1 271 0.28225246 -0.18304685 16.171875 -10.487812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17096683--0.18304685) × R
    0.01208002 × 6371000     		dl = 76961.8074200002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17096683--0.18304685) × R
    0.01208002 × 6371000     		dr = 76961.8074200002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26998062-0.28225246) × cos(-0.17096683) × R
    0.01227184 × 0.9854207357218 × 6371000     		do = 77044.0290069029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26998062-0.28225246) × cos(-0.18304685) × R
    0.01227184 × 0.983293650724252 × 6371000     		du = 76877.7252218184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17096683)-sin(-0.18304685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9854207357218-0.983293650724252)×R²
    abs(0.28225246-0.26998062)×0.00212708499754843×R²
    0.01227184×0.00212708499754843×6371000²
    0.01227184×0.00212708499754843×40589641000000     		ar = 5923120232.06442m²