Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 281 / 263
↖ ↑ ↗
← S  4.915833°
E 17.578125°		 ← 77.896 km → S  4.915833°
E 18.281250°		 →
↑
77.853 km
↓
↑
77.853 km
↓
S  5.615986°
E 17.578125°		 ← 77.809 km →
6 061.16 km²		 S  5.615986°
E 18.281250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5498046875 y=0.5146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5498046875 × 29)
    floor (0.5498046875 × 512)
    floor (281.5)     		tx = 281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5146484375 × 29)
    floor (0.5146484375 × 512)
    floor (263.5)     		ty = 263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 281 / 263 ti = "9/281/263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/281/263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 281 ÷ 29
    281 ÷ 512     		x = 0.548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 263 ÷ 29
    263 ÷ 512     		y = 0.513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548828125 × 2 - 1) × π
    0.09765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.30679616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.513671875 × 2 - 1) × π
    -0.02734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0859029241191406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30679616} λ = 0.30679616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0859029241191406))-π/2
    2×atan(0.917683311812137)-π/2
    2×0.742499429468446-π/2
    1.48499885893689-1.57079632675     		φ = -0.08579747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30679616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.578125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.08579747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.915833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 281 KachelY 263 0.30679616 -0.08579747 17.578125 -4.915833
    Oben rechts KachelX + 1 282 KachelY 263 0.31906800 -0.08579747 18.281250 -4.915833
    Unten links KachelX 281 KachelY + 1 264 0.30679616 -0.09801744 17.578125 -5.615986
    Unten rechts KachelX + 1 282 KachelY + 1 264 0.31906800 -0.09801744 18.281250 -5.615986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.08579747--0.09801744) × R
    0.01221997 × 6371000     		dl = 77853.42887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.08579747--0.09801744) × R
    0.01221997 × 6371000     		dr = 77853.42887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30679616-0.31906800) × cos(-0.08579747) × R
    0.01227184 × 0.996321654323187 × 6371000     		do = 77896.3052565114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30679616-0.31906800) × cos(-0.09801744) × R
    0.01227184 × 0.995200135433612 × 6371000     		du = 77808.6205440552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.08579747)-sin(-0.09801744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996321654323187-0.995200135433612)×R²
    abs(0.31906800-0.30679616)×0.0011215188895749×R²
    0.01227184×0.0011215188895749×6371000²
    0.01227184×0.0011215188895749×40589641000000     		ar = 6061156607.81377m²