Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2832 / 2832
↖ ↑ ↗
← S 56.559482°
E 68.906250°		 ← 5 385.61 m → S 56.559482°
E 68.994141°		 →
↑
5 382.16 m
↓
↑
5 382.16 m
↓
S 56.607885°
E 68.906250°		 ← 5 378.72 m →
28 967 652 m²		 S 56.607885°
E 68.994141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6915283203125 y=0.6915283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6915283203125 × 212)
    floor (0.6915283203125 × 4096)
    floor (2832.5)     		tx = 2832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6915283203125 × 212)
    floor (0.6915283203125 × 4096)
    floor (2832.5)     		ty = 2832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2832 / 2832 ti = "12/2832/2832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2832/2832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2832 ÷ 212
    2832 ÷ 4096     		x = 0.69140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2832 ÷ 212
    2832 ÷ 4096     		y = 0.69140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69140625 × 2 - 1) × π
    0.3828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.20264094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69140625 × 2 - 1) × π
    -0.3828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.20264093766797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20264094} λ = 1.20264094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20264093766797))-π/2
    2×atan(0.300399826195877)-π/2
    2×0.291823567124064-π/2
    0.583647134248128-1.57079632675     		φ = -0.98714919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20264094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98714919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.559482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2832 KachelY 2832 1.20264094 -0.98714919 68.906250 -56.559482
    Oben rechts KachelX + 1 2833 KachelY 2832 1.20417492 -0.98714919 68.994141 -56.559482
    Unten links KachelX 2832 KachelY + 1 2833 1.20264094 -0.98799398 68.906250 -56.607885
    Unten rechts KachelX + 1 2833 KachelY + 1 2833 1.20417492 -0.98799398 68.994141 -56.607885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98714919--0.98799398) × R
    0.00084479000000004 × 6371000     		dl = 5382.15709000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98714919--0.98799398) × R
    0.00084479000000004 × 6371000     		dr = 5382.15709000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20264094-1.20417492) × cos(-0.98714919) × R
    0.00153398000000005 × 0.55107097894133 × 6371000     		do = 5385.60928182124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20264094-1.20417492) × cos(-0.98799398) × R
    0.00153398000000005 × 0.550365840294863 × 6371000     		du = 5378.71797129228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98714919)-sin(-0.98799398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55107097894133-0.550365840294863)×R²
    abs(1.20417492-1.20264094)×0.00070513864646693×R²
    0.00153398000000005×0.00070513864646693×6371000²
    0.00153398000000005×0.00070513864646693×40589641000000     		ar = 28967651.8449925m²