Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28673 / 45055
↖ ↑ ↗
← S 55.773483°
W 22.494507°		 ← 343.58 m → S 55.773483°
W 22.489013°		 →
↑
343.52 m
↓
↑
343.52 m
↓
S 55.776573°
W 22.494507°		 ← 343.56 m →
118 025 m²		 S 55.776573°
W 22.489013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437522888183594 y=0.687492370605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437522888183594 × 216)
    floor (0.437522888183594 × 65536)
    floor (28673.5)     		tx = 28673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687492370605469 × 216)
    floor (0.687492370605469 × 65536)
    floor (45055.5)     		ty = 45055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28673 / 45055 ti = "16/28673/45055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28673/45055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28673 ÷ 216
    28673 ÷ 65536     		x = 0.437515258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45055 ÷ 216
    45055 ÷ 65536     		y = 0.687484741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437515258789062 × 2 - 1) × π
    -0.124969482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39260321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687484741210938 × 2 - 1) × π
    -0.374969482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.17800137126326
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39260321} λ = -0.39260321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17800137126326))-π/2
    2×atan(0.307893488842402)-π/2
    2×0.298682702891446-π/2
    0.597365405782893-1.57079632675     		φ = -0.97343092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39260321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.494507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97343092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.773483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28673 KachelY 45055 -0.39260321 -0.97343092 -22.494507 -55.773483
    Oben rechts KachelX + 1 28674 KachelY 45055 -0.39250733 -0.97343092 -22.489013 -55.773483
    Unten links KachelX 28673 KachelY + 1 45056 -0.39260321 -0.97348484 -22.494507 -55.776573
    Unten rechts KachelX + 1 28674 KachelY + 1 45056 -0.39250733 -0.97348484 -22.489013 -55.776573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97343092--0.97348484) × R
    5.39200000000406e-05 × 6371000     		dl = 343.524320000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97343092--0.97348484) × R
    5.39200000000406e-05 × 6371000     		dr = 343.524320000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39260321--0.39250733) × cos(-0.97343092) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.562466092694 × 6371000     		do = 343.583245171921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39260321--0.39250733) × cos(-0.97348484) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.562421509722991 × 6371000     		du = 343.556011598097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97343092)-sin(-0.97348484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562466092694-0.562421509722991)×R²
    abs(-0.39250733--0.39260321)×4.45829710086221e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.45829710086221e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.45829710086221e-05×40589641000000     		ar = 118024.522992003m²